Класс: ssm
Предскажите состояния и наблюдения за моделями в пространстве состояний
[ возвращает предсказанные наблюдения (Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0)Y) и их соответствующие отклонения (YMSE) от прогнозирования модели в пространстве состояний Mdl использование numPeriods предскажите горизонт и наблюдения в выборке Y0.
[ дополнительные опции использования заданы одним или несколькими Y,YMSE]
= forecast(Mdl,numPeriods,Y0,Name,Value)Name,Value парные аргументы. Например, для моделей в пространстве состояний, которые включают компонент линейной регрессии в модель наблюдения, включайте данные о предикторе в выборке, данные о предикторе для горизонта прогноза и коэффициент регрессии.
Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от , предположение, что ряд запускается в 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.75. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре содействующих матрицы.
A = 0.5; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Задайте модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц.
Mdl = ssm(A,B,C,D)
Mdl =
State-space model type: ssm
State vector length: 1
Observation vector length: 1
State disturbance vector length: 1
Observation innovation vector length: 1
Sample size supported by model: Unlimited
State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
State equation:
x1(t) = (0.50)x1(t-1) + u1(t)
Observation equation:
y1(t) = x1(t) + (0.75)e1(t)
Initial state distribution:
Initial state means
x1
0
Initial state covariance matrix
x1
x1 1.33
State types
x1
Stationary
Mdl ssm модель. Проверьте, что модель правильно задана с помощью отображения в Командном окне. Программное обеспечение выводит, что процесс состояния является стационарным. Впоследствии, программное обеспечение устанавливает среднее значение начального состояния и ковариацию к среднему значению и отклонению стационарного распределения модели AR (1).
Предскажите наблюдения 10 периодов в будущее и оцените их отклонения.
numPeriods = 10; [ForecastedY,YMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте прогнозы с ответами в выборке, и 95% интервалов прогноза вальдового типа.
ForecastIntervals(:,1) = ForecastedY - 1.96*sqrt(YMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedY + 1.96*sqrt(YMSE); figure plot(T-20:T,y(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedY,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[y(end)*ones(3,1),[ForecastedY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2) hold on title({'Observed Responses and Their Forecasts'}) xlabel('Period') ylabel('Responses') legend({'Observations','Forecasted observations','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Предположим, что линейное соотношение между изменением в уровне безработицы и темпом роста номинального валового национального продукта (nGNP) представляет интерес. Предположим далее, что первым различием уровня безработицы является серия ARMA(1,1). Символически, и в форме пространства состояний, модель
где:
изменение в уровне безработицы во время t.
фиктивное состояние для MA (1) эффект.
наблюдаемое изменение в уровне безработицы, выкачиваемом темпом роста nGNP ().
серия Gaussian воздействий состояния, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.
серия Gaussian инноваций наблюдения, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение .
Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит уровень безработицы и nGNP ряд, среди прочего.
load Data_NelsonPlosserПредварительно обработайте данные путем взятия натурального логарифма nGNP ряда и первого различия каждого ряда. Кроме того, удалите стартовый NaN значения от каждого ряда.
isNaN = any(ismissing(DataTable),2); % Flag periods containing NaNs gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN); u = DataTable.UR(~isNaN); T = size(gnpn,1); % Sample size Z = [ones(T-1,1) diff(log(gnpn))]; y = diff(u);
Хотя этот пример удаляет отсутствующие значения, программное обеспечение может вместить ряд, содержащий отсутствующие значения в среде Фильтра Калмана.
Чтобы определить, как хорошо модель предсказывает наблюдения, удалите последние 10 наблюдений для сравнения.
numPeriods = 10; % Forecast horizon isY = y(1:end-numPeriods); % In-sample observations oosY = y(end-numPeriods+1:end); % Out-of-sample observations ISZ = Z(1:end-numPeriods,:); % In-sample predictors OOSZ = Z(end-numPeriods+1:end,:); % Out-of-sample predictors
Задайте содействующие матрицы.
A = [NaN NaN; 0 0]; B = [1; 1]; C = [1 0]; D = NaN;
Задайте модель в пространстве состояний с помощью ssm.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Оцените параметры модели и используйте случайный набор начальных значений параметров для оптимизации. Задайте компонент регрессии и его начальное значение для оптимизации с помощью 'Predictors' и 'Beta0' аргументы пары "имя-значение", соответственно. Ограничьте оценку ко всем положительным, вещественным числам. Для числовой устойчивости задайте Гессиан, когда программное обеспечение вычислит ковариационную матрицу параметра, с помощью 'CovMethod' аргумент пары "имя-значение".
params0 = [0.3 0.2 0.1]; % Chosen arbitrarily [EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,isY,params0,'Predictors',ISZ,... 'Beta0',[0.1 0.2],'lb',[-Inf,-Inf,0,-Inf,-Inf],'CovMethod','hessian');
Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 51
Logarithmic likelihood: -87.2409
Akaike info criterion: 184.482
Bayesian info criterion: 194.141
| Coeff Std Err t Stat Prob
----------------------------------------------------------
c(1) | -0.31780 0.19429 -1.63572 0.10190
c(2) | 1.21242 0.48882 2.48031 0.01313
c(3) | 0.45583 0.63931 0.71301 0.47584
y <- z(1) | 1.32407 0.26313 5.03201 0
y <- z(2) | -24.48733 1.90115 -12.88024 0
|
| Final State Std Dev t Stat Prob
x(1) | -0.38117 0.42842 -0.88971 0.37363
x(2) | 0.23402 0.66222 0.35339 0.72380
EstMdl ssm модель, и можно получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.
Предскажите наблюдения по горизонту прогноза. EstMdl не хранит набор данных, таким образом, необходимо передать его в соответствующих аргументах пары "имя-значение".
[fY,yMSE] = forecast(EstMdl,numPeriods,isY,'Predictors0',ISZ,... 'PredictorsF',OOSZ,'Beta',estParams(end-1:end));
fY вектор 10 на 1, содержащий предсказанные наблюдения и yMSE вектор 10 на 1, содержащий отклонения предсказанных наблюдений.
Получите 95% интервалов прогноза вальдового типа. Постройте предсказанные наблюдения с их истинными значениями и интервалами прогноза.
ForecastIntervals(:,1) = fY - 1.96*sqrt(yMSE); ForecastIntervals(:,2) = fY + 1.96*sqrt(yMSE); figure h = plot(dates(end-numPeriods-9:end-numPeriods),isY(end-9:end),'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),oosY,'-k',... dates(end-numPeriods+1:end),fY,'--r',... dates(end-numPeriods+1:end),ForecastIntervals,':b',... dates(end-numPeriods:end-numPeriods+1),... [isY(end)*ones(3,1),[oosY(1);ForecastIntervals(1,:)']],':k',... 'LineWidth',2); xlabel('Period') ylabel('Change in the unemployment rate') legend(h([1,3,4]),{'Observations','Forecasted responses',... '95% forecast intervals'}) title('Observed and Forecasted Changes in the Unemployment Rate')
Эта модель, кажется, предсказывает изменения в уровне безработицы хорошо.
Предположим, что скрытый процесс является AR (1). Уравнение состояния
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.
Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от , предположение, что ряд запускается в 1,5.
T = 100; ARMdl = arima('AR',0.5,'Constant',0,'Variance',1); x0 = 1.5; rng(1); % For reproducibility x = simulate(ARMdl,T,'Y0',x0);
Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Уравнение наблюдения
где является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 0.75. Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний.
Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.
y = x + 0.75*randn(T,1);
Задайте четыре содействующих матрицы.
A = 0.5; B = 1; C = 1; D = 0.75;
Задайте модель в пространстве состояний с помощью содействующих матриц.
Mdl = ssm(A,B,C,D);
Mdl ssm модель.
Предскажите состояния 10 периодов в будущее и оцените их отклонения.
numPeriods = 10; [~,~,ForecastedX,XMSE] = forecast(Mdl,numPeriods,y);
Постройте прогнозы со сглаживавшими состояниями, и 95% интервалов прогноза вальдового типа.
smoothX = smooth(Mdl,y); ForecastIntervals(:,1) = ForecastedX - 1.96*sqrt(XMSE); ForecastIntervals(:,2) = ForecastedX + 1.96*sqrt(XMSE); figure plot(T-20:T,smoothX(T-20:T),'-k',T+1:T+numPeriods,ForecastedX,'-.r',... T+1:T+numPeriods,ForecastIntervals,'-.b',... T:T+1,[smoothX(end)*ones(3,1),[ForecastedX(1);ForecastIntervals(1,:)']],... ':k','LineWidth',2) hold on title({'Smoothed and Forecasted States'}) xlabel('Period') ylabel('States') legend({'Smoothed states','Forecasted states','95% forecast intervals'},... 'Location','Best') hold off
Mdl не хранит данные об ответе, данные о предикторе и коэффициенты регрессии. Предоставьте их каждый раз, когда необходимое использование соответствующего входа или аргументов пары "имя-значение".
Фильтр Калмана хранит недостающие данные, не обновляя отфильтрованное оценочное соответствие состояния недостающим наблюдениям. Другими словами, предположите, что существует недостающее наблюдение в период t. Затем прогноз состояния для периода t на основе предыдущего t – 1 наблюдение и отфильтрованное состояние в течение периода t эквивалентен.
Для явным образом заданных моделей в пространстве состояний, forecast применяет все предикторы к каждому ряду ответа. Однако каждый ряд ответа имеет свой собственный набор коэффициентов регрессии.
[1] Дербин Дж. и С. Дж. Купмен. Анализ Временных рядов Методами Пространства состояний. 2-й редактор Оксфорд: Издательство Оксфордского университета, 2012.
ssm | smooth | estimate | filter