Каноническая реализация пространства состояний

Модели в пространстве состояний могут быть поняты в следующих стандартных формах:

Модальная каноническая форма
Сопутствующая каноническая форма
Заметная каноническая форма
Управляемая каноническая форма

Модальная каноническая форма

В модальной форме A является блочно диагональной матрицей. Размер блока обычно 1 на 1 для действительных собственных значений и 2 на 2 для комплексных собственных значений. Однако, если существуют повторенные собственные значения или кластеры соседних собственных значений, размер блока может быть больше.

Например, для системы с собственными значениями $(λ_{1}, σ \pm j ω, λ_{2})$ , модальная матрица A имеет форму

$[\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & σ & ω & 0 \\ 0 & - ω & σ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{2} \end{matrix}]$

Сопутствующая каноническая форма

В сопутствующей реализации характеристический полином системы появляется явным образом в крайнем правом столбце матрицы A. Можно получить сопутствующую каноническую форму системы при помощи canon команда следующим образом:

csys = canon(sys,'companion')

Для системы характеристическим полиномом

$P (s) = s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}$

соответствующий компаньон матрица A

$A = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} \end{matrix} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} - α_{n} \\ - α_{n - 1} \\ - α_{n - 2} \\ - α_{n - 3} \\ ⋮ \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

Сопутствующее преобразование требует, чтобы система была управляема от первого входа. Преобразование к сопутствующей форме основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для средних порядков. Следовательно, избегайте использования его для расчета, если это возможно. Сопутствующая каноническая форма - тот же самый как заметная каноническая форма.

Заметная каноническая форма

Заметная каноническая форма совпадает с сопутствующей канонической формой, где характеристический полином системы появляется явным образом в крайнем правом столбце A матрица. Можно получить заметную каноническую форму системы при помощи canon команда следующим образом:

csys = canon(sys,'companion')

Для системы с заданным передаточной функцией

$\frac{Q (s)}{P (s)} = \frac{b_{0} s^{n} + b_{1} s^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} s + b_{n}}{s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}}$

соответствующие матрицы:

$A_{o} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{matrix} \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \end{array} \end{matrix} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{array} & \begin{array}{l} - α_{n} \\ - α_{n - 1} \\ - α_{n - 2} \\ - α_{n - 3} \\ ⋮ \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

$B_{o} = [\begin{array}{l} b_{n} - a_{n} b_{0} \\ b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{0} \\ b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{0} \\ ⋮ \\ b_{1} - a_{1} b_{0} \end{array}]$

$C_{o} = [\begin{matrix} \begin{matrix} 0 & 0 \end{matrix} & \dots & 0 & 1 \end{matrix}]$

$D_{o} = b_{0}$

Заметная каноническая форма, которая совпадает с сопутствующей формой, плохо обусловливается для большей части расчета пространства состояний. Преобразование системы к сопутствующей форме основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для средних порядков. Следовательно, избегайте использования его для расчета, если это возможно.

Управляемая каноническая форма

Управляемая каноническая форма системы является транспонированием своей заметной канонической формы, где характеристический полином системы появляется явным образом в последней строке A матрица.

Для системы с заданным передаточной функцией

$\frac{Q (s)}{P (s)} = \frac{b_{0} s^{n} + b_{1} s^{n - 1} + \dots + b_{n - 1} s + b_{n}}{s^{n} + α_{1} s^{n - 1} + \dots + α_{n - 1} s + α_{n}}$

соответствующие матрицы:

$A_{c} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n} \end{array} & \begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n - 1} \end{array} & \begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \\ - α_{n - 2} \end{array} & \begin{array}{l} \dots \\ \dots \\ ⋱ \\ \dots \\ \dots \end{array} & \begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ - α_{1} \end{array} \end{matrix} \end{matrix}]$

$B_{c} = [\begin{matrix} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} \\ ⋮ \\ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array} \end{matrix}]$

$C_{c} = [\begin{matrix} \begin{matrix} b_{n} - a_{n} b_{0} & b_{n - 1} - a_{n - 1} b_{0} \end{matrix} & b_{n - 2} - a_{n - 2} b_{0} & \begin{matrix} \dots & b_{1} - a_{1} b_{0} \end{matrix} \end{matrix}]$

$D_{c} = b_{0}$

Отношение между заметной и управляемой канонической реализацией следующие:

$\begin{array}{l} A_{c} = A_{o}^{T} \\ B_{c} = C_{o}^{T} \\ C_{c} = B_{o}^{T} \\ D_{c} = D_{o} \end{array}$

Управляемая каноническая форма полезна для проектирования контроллера с помощью метода размещения полюса. Однако преобразование системы к сопутствующей форме основано на матрице управляемости, которая почти всегда численно сингулярна для средних порядков. Следовательно, избегайте использования управляемой формы для расчета, если это возможно.

Смотрите также

canon | ss (Control System Toolbox)

Документация