Модель в пространстве состояний
Используйте ss создать модели в пространстве состояний с комплексным знаком или с действительным знаком или преобразовать модели динамической системы в форму модели в пространстве состояний. Можно также использовать ss создать обобщенное пространство состояний (genss) модели или неопределенное пространство состояний (uss (Robust Control Toolbox)) модели.
Модель в пространстве состояний является математическим представлением физической системы в виде набора входа, выхода и переменных состояния, связанных дифференциальными уравнениями первого порядка. Переменные состояния задают значения выходных переменных. ss объект модели может представлять SISO или модели в пространстве состояний MIMO в непрерывное время или дискретное время.
В непрерывное время модель в пространстве состояний имеет следующую форму:
Здесь, xU и y представляйте состояния, вводы и выводы соответственно, в то время как ABC и D матрицы пространства состояний. ss объект представляет модель в пространстве состояний в MATLAB® хранение ABC и D наряду с другой информацией, такой как шаг расчета, имена и задерживается характерный для вводов и выводов.
Можно создать объект модели в пространстве состояний или определением состояния, матрицы ввода и вывода непосредственно, или путем преобразования модели другого типа (такие как модель tf передаточной функции) к форме пространства состояний. Для получения дополнительной информации смотрите Модели в пространстве состояний. Можно использовать ss объект модели к:
Выполните линейный анализ
Представляйте модель линейного независимого от времени (LTI), чтобы выполнить систему управления
Объединитесь с другими моделями LTI, чтобы представлять более сложную систему
sys = ss(A,B,C,D)
Например, рассмотрите объект с Nx состояния, Ny выходные параметры и Nu входные параметры. Матрицы пространства состояний:
A Nx- Nx действительный - или матрица с комплексным знаком.
B Nx- Nu действительный - или матрица с комплексным знаком.
C Ny- Nx действительный - или матрица с комплексным знаком.
D Ny- Nu действительный - или матрица с комплексным знаком.
sys = ss(ltiSys,component)ss возразите формируют измеренный компонент, шумовой компонент или оба из заданного component из идентифицированной модели ltiSys линейного независимого от времени (LTI). Используйте этот синтаксис только когда ltiSys идентифицированная модель (LTI) такой как idtf (System Identification Toolbox), idss (System Identification Toolbox), idproc (System Identification Toolbox), idpoly (System Identification Toolbox) или idgrey Объект (System Identification Toolbox).
sys = ss(ssSys,'minimal')minreal(ss(sys)) где матричный A имеет самую маленькую размерность.
Преобразование в форму пространства состояний исключительно не задано в случае SISO. Это, как также гарантируют, не произведет минимальную реализацию в случае MIMO. Для получения дополнительной информации смотрите Рекомендуемое работающее Представление.
sys = ss(ssSys,'explicit')ssSys. ss возвращает ошибку если ssSys является неподходящим. Для получения дополнительной информации о явной реализации пространства состояний смотрите Модели в пространстве состояний.
Следующие списки содержат представительное подмножество функций, которые можно использовать с ss объекты модели. В общем случае любая функция, применимая к Моделям Динамической системы, применима к ss объект.
Создайте модель в пространстве состояний SISO, заданную следующими матрицами пространства состояний:
Задайте A, B, C и матрицы D, и создайте модель в пространстве состояний.
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Создайте модель в пространстве состояний с шагом расчета 0,25 секунд и следующих матриц пространства состояний:
Задайте матрицы пространства состояний.
A = [0 1;-5 -2]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0;
Задайте шаг расчета.
Ts = 0.25;
Создайте модель в пространстве состояний.
sys = ss(A,B,C,D,Ts);
В данном примере рассмотрите куб, вращающийся о его угле с тензором инерции J и затухание обеспечивает F из 0,2 величин. Вход к системе является ведущим крутящим моментом, в то время как скоростями вращения являются выходные параметры. Матрицы пространства состояний для куба:
Задайте ABC и D матрицы, и создают модель в пространстве состояний непрерывного времени.
J = [8 -3 -3; -3 8 -3; -3 -3 8]; F = 0.2*eye(3); A = -J\F; B = inv(J); C = eye(3); D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.04545 -0.02727 -0.02727
x2 -0.02727 -0.04545 -0.02727
x3 -0.02727 -0.02727 -0.04545
B =
u1 u2 u3
x1 0.2273 0.1364 0.1364
x2 0.1364 0.2273 0.1364
x3 0.1364 0.1364 0.2273
C =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
y2 0 1 0
y3 0 0 1
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 0
y3 0 0 0
Continuous-time state-space model.
sys MIMO, поскольку система содержит 3 входных параметров и 3 выходных сигнала, наблюдаемые из матриц C и D. Для получения дополнительной информации о моделях в пространстве состояний MIMO смотрите Модели в пространстве состояний MIMO.
Создайте модель в пространстве состояний с помощью следующего дискретного времени, мультивведите, матрицы мультисостояния вывода с шагом расчета ts = 0.2 секунды:
Задайте матрицы пространства состояний и создайте дискретное время модель в пространстве состояний MIMO.
A = [-7,0;0,-10]; B = [5,0;0,2]; C = [1,-4;-4,0.5]; D = [0,-2;2,0]; ts = 0.2; sys = ss(A,B,C,D,ts)
sys =
A =
x1 x2
x1 -7 0
x2 0 -10
B =
u1 u2
x1 5 0
x2 0 2
C =
x1 x2
y1 1 -4
y2 -4 0.5
D =
u1 u2
y1 0 -2
y2 2 0
Sample time: 0.2 seconds
Discrete-time state-space model.
Создайте матрицы пространства состояний и задайте шаг расчета.
A = [0 1;-5 -2]; B = [0;3]; C = [0 1]; D = 0; Ts = 0.05;
Создайте модель в пространстве состояний, задав состояние и введите имена с помощью пар "имя-значение".
sys = ss(A,B,C,D,Ts,'StateName',{'Position' 'Velocity'},... 'InputName','Force');
Количество состояния и входных имен должно быть сопоставимо с размерностями ABC, и D.
Именование вводов и выводов может быть полезным при контакте с графиками отклика для систем MIMO.
step(sys)
Заметьте, что вход называет Force в заголовке переходного процесса.
В данном примере создайте модель в пространстве состояний с тем же временем и введите модульные свойства, наследованные от другой модели в пространстве состояний. Рассмотрите следующие модели в пространстве состояний:
Во-первых, создайте модель в пространстве состояний sys1 с TimeUnit и InputUnit набор свойств к 'minutes'.
A1 = [-1.5,-2;1,0]; B1 = [0.5;0]; C1 = [0,1]; D1 = 5; sys1 = ss(A1,B1,C1,D1,'TimeUnit','minutes','InputUnit','minutes');
Проверьте, что время и ввело модульные свойства sys1 установлены в 'minutes'.
propValues1 = [sys1.TimeUnit,sys1.InputUnit]
propValues1 = 1x2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
Создайте вторую модель в пространстве состояний со свойствами, наследованными от sys1.
A2 = [7,-1;0,2]; B2 = [0.85;2]; C2 = [10,14]; D2 = 2; sys2 = ss(A2,B2,C2,D2,sys1);
Проверьте, что время и ввело модули sys2 были наследованы от sys1.
propValues2 = [sys2.TimeUnit,sys2.InputUnit]
propValues2 = 1x2 cell
{'minutes'} {'minutes'}
В этом примере вы создадите статическое усиление модель в пространстве состояний MIMO.
Рассмотрите следующий 2D вход, 2D выход статическая матрица усиления:
Задайте матрицу усиления и создайте статическую модель в пространстве состояний усиления.
D = [2,4;3,5]; sys1 = ss(D)
sys1 =
D =
u1 u2
y1 2 4
y2 3 5
Static gain.
Вычислите модель в пространстве состояний следующей передаточной функции:
Создайте модель передаточной функции.
H = [tf([1 1],[1 3 3 2]) ; tf([1 0 3],[1 1 1])];
Преобразуйте эту модель в модель в пространстве состояний.
sys = ss(H);
Исследуйте размер модели в пространстве состояний.
size(sys)
State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 5 states.
Количество состояний равно совокупному порядку записей SISO в H (s).
Чтобы получить минимальную реализацию H (s), войти
sys = ss(H,'minimal');
size(sys)State-space model with 2 outputs, 1 inputs, and 3 states.
Получившаяся модель имеет порядок три, который является минимальным количеством состояний, должен был представлять H (s). Чтобы видеть это количество состояний, осуществите рефакторинг H (s) как продукт системы первого порядка и системы второго порядка.
В данном примере извлеките измеренные и шумовые компоненты идентифицированной полиномиальной модели в две отдельных модели в пространстве состояний.
Загрузите полиномиальную модель Бокса-Дженкинса ltiSys в identifiedModel.mat.
load('identifiedModel.mat','ltiSys');
ltiSys идентифицированная модель дискретного времени формы: , где представляет измеренный компонент и шумовой компонент.
Извлеките измеренные и шумовые компоненты как модели в пространстве состояний.
sysMeas = ss(ltiSys,'measured') sysMeas =
A =
x1 x2
x1 1.575 -0.6115
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 -0.2851 0.3916
D =
u1
y1 0
Input delays (sampling periods): 2
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
sysNoise = ss(ltiSys,'noise')sysNoise =
A =
x1 x2 x3
x1 1.026 -0.26 0.3899
x2 1 0 0
x3 0 0.5 0
B =
v@y1
x1 0.25
x2 0
x3 0
C =
x1 x2 x3
y1 0.319 -0.04738 0.07106
D =
v@y1
y1 0.04556
Input groups:
Name Channels
Noise 1
Sample time: 0.04 seconds
Discrete-time state-space model.
Измеренный компонент может служить моделью объекта управления, в то время как шумовой компонент может использоваться в качестве возмущения для проекта системы управления.
Создайте модель в пространстве состояний дескриптора (E ≠ I).
a = [2 -4; 4 2]; b = [-1; 0.5]; c = [-0.5, -2]; d = [-1]; e = [1 0; -3 0.5]; sysd = dss(a,b,c,d,e);
Вычислите явную реализацию системы (E = I).
syse = ss(sysd,'explicit')syse =
A =
x1 x2
x1 2 -4
x2 20 -20
B =
u1
x1 -1
x2 -5
C =
x1 x2
y1 -0.5 -2
D =
u1
y1 -1
Continuous-time state-space model.
Подтвердите, что дескриптор и явная реализация имеют эквивалентную динамику.
bodeplot(sysd,syse,'g--')
В этом примере показано, как создать пространство состояний genss модель, фиксирующая и и настраиваемые параметры.
где a и b являются настраиваемыми параметрами, начальными значениями которых является -1 и 3, соответственно.
Создайте использование настраиваемых параметров realp.
a = realp('a',-1); b = realp('b',3);
Задайте обобщенную матрицу с помощью алгебраических выражений a и b.
A = [1 a+b;0 a*b];
A обобщенная матрица чей Blocks свойство содержит a и b. Начальное значение A [1 2;0 -3], от начальных значений a и b.
Создайте матрицы пространства состояний фиксированного значения.
B = [-3.0;1.5]; C = [0.3 0]; D = 0;
Использование ss создать модель в пространстве состояний.
sys = ss(A,B,C,D)
sys =
Generalized continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 2 states, and the following blocks:
a: Scalar parameter, 2 occurrences.
b: Scalar parameter, 2 occurrences.
Type "ss(sys)" to see the current value, "get(sys)" to see all properties, and "sys.Blocks" to interact with the blocks.
sys обобщенная модель LTI (genss) с настраиваемыми параметрами a и b.
В данном примере считайте модель в пространстве состояний SISO заданной следующими матрицами пространства состояний:
При рассмотрении входной задержки 0,5 секунд и выходной задержки 2,5 секунд, создайте объект модели в пространстве состояний представлять A, B, C и матрицы D.
A = [-1.5,-2;1,0]; B = [0.5;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D,'InputDelay',0.5,'OutputDelay',2.5)
sys =
A =
x1 x2
x1 -1.5 -2
x2 1 0
B =
u1
x1 0.5
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Input delays (seconds): 0.5
Output delays (seconds): 2.5
Continuous-time state-space model.
Можно также использовать get команда, чтобы отобразить все свойства объекта MATLAB.
get(sys)
A: [2x2 double]
B: [2x1 double]
C: [0 1]
D: 0
E: []
Scaled: 0
StateName: {2x1 cell}
StatePath: {2x1 cell}
StateUnit: {2x1 cell}
InternalDelay: [0x1 double]
InputDelay: 0.5000
OutputDelay: 2.5000
Ts: 0
TimeUnit: 'seconds'
InputName: {''}
InputUnit: {''}
InputGroup: [1x1 struct]
OutputName: {''}
OutputUnit: {''}
OutputGroup: [1x1 struct]
Notes: [0x1 string]
UserData: []
Name: ''
SamplingGrid: [1x1 struct]
Для получения дополнительной информации об определении задержки модели LTI смотрите Задержки Определения.
В данном примере рассмотрите объект системы в пространстве состояний, который представляет следующие матрицы состояния:
Создайте объект sys пространства состояний использование ss команда.
A = [-1.2,-1.6,0;1,0,0;0,1,0]; B = [1;0;0]; C = [0,0.5,1.3]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D);
Затем вычислите модель в пространстве состояний с обратной связью для модуля отрицательное усиление и найдите полюса объекта sysFeedback системы в пространстве состояний с обратной связью.
sysFeedback = feedback(sys,1); P = pole(sysFeedback)
P = 3×1 complex
-0.2305 + 1.3062i
-0.2305 - 1.3062i
-0.7389 + 0.0000i
Обратная связь для модульного усиления устойчива, поскольку все полюса имеют отрицательные действительные части. Проверка полюсов с обратной связью обеспечивает бинарную оценку устойчивости. На практике более полезно знать, насколько устойчивый (или хрупкий) устойчивость. Одна индикация относительно робастности состоит в том, сколько может изменить усиление цикла, прежде чем устойчивость потеряна. Можно использовать график корневого годографа оценить область значений k значения, для которых цикл устойчив.
rlocus(sys)
Изменения в усилении цикла являются только одним аспектом устойчивой устойчивости. В общем случае несовершенное моделирование объекта означает, что и усиление и фаза не известны точно. Начиная с моделирования ошибок имеют наиболее неблагоприятное воздействие около частоты среза усиления (частота, где коэффициент усиления разомкнутого контура является 0dB), также имеет значение, сколько изменения фазы может быть допущено на этой частоте.
Можно отобразить запасы по амплитуде и фазе на Диаграмме Боде можно следующим образом.
bode(sys) grid
Для более подробного примера смотрите Запасы по амплитуде и фазе Оценки.
В данном примере спроектируйте ПИД-регулятор 2-DOF с целевой полосой пропускания 0,75 рад/с для системы, представленной следующими матрицами:
Создайте объект sys пространства состояний использование ss команда.
A = [-0.5,-0.1;1,0]; B = [1;0]; C = [0,1]; D = 0; sys = ss(A,B,C,D)
sys =
A =
x1 x2
x1 -0.5 -0.1
x2 1 0
B =
u1
x1 1
x2 0
C =
x1 x2
y1 0 1
D =
u1
y1 0
Continuous-time state-space model.
Используя целевую полосу пропускания, используйте pidtune сгенерировать контроллер 2-DOF.
wc = 0.75;
C2 = pidtune(sys,'PID2',wc)C2 =
1
u = Kp (b*r-y) + Ki --- (r-y) + Kd*s (c*r-y)
s
with Kp = 0.513, Ki = 0.0975, Kd = 0.577, b = 0.344, c = 0
Continuous-time 2-DOF PID controller in parallel form.
Используя тип 'PID2' причины pidtune сгенерировать контроллер 2-DOF, представленный как pid2 объект. Отображение подтверждает этот результат. Отображение также показывает тот pidtune мелодии все коэффициенты контроллера, включая веса заданного значения b и c, сбалансировать эффективность и робастность.
Для интерактивного ПИДа, настраивающего Live Editor, смотрите Live Editor ПИД-регулятора Мелодии задача. Эта задача позволяет вам в интерактивном режиме спроектировать ПИД-регулятор и автоматически генерирует код MATLAB для вашего live скрипта.
Для интерактивного ПИДа, настраивающего автономное приложение, используйте PID Tuner. См. Проект ПИД-регулятора для Быстрого Отслеживания уставки для примера разработки контроллера, использующего приложение.
Считайте объект пространства состояний G с пятью входными параметрами и четырьмя выходными параметрами и контроллером обратной связи пространства состояний K с тремя входными параметрами и двумя выходными параметрами. Выходные параметры 1, 3, и 4 из объекта G должен быть подключен контроллер K входные параметры и контроллеры выход к входным параметрам 4 и 2 из объекта.
В данном примере рассмотрите две модели в пространстве состояний непрерывного времени для обоих G и K представленный следующим набором матриц:
AG = [-3,0.4,0.3;-0.5,-2.8,-0.8;0.2,0.8,-3]; BG = [0.4,0,0.3,0.2,0;-0.2,-1,0.1,-0.9,-0.5;0.6,0.9,0.5,0.2,0]; CG = [0,-0.1,-1;0,-0.2,1.6;-0.7,1.5,1.2;-1.4,-0.2,0]; DG = [0,0,0,0,-1;0,0.4,-0.7,0,0.9;0,0.3,0,0,0;0.2,0,0,0,0]; sysG = ss(AG,BG,CG,DG)
sysG =
A =
x1 x2 x3
x1 -3 0.4 0.3
x2 -0.5 -2.8 -0.8
x3 0.2 0.8 -3
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.2 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.6 0.9 0.5 0.2 0
C =
x1 x2 x3
y1 0 -0.1 -1
y2 0 -0.2 1.6
y3 -0.7 1.5 1.2
y4 -1.4 -0.2 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
AK = [-0.2,2.1,0.7;-2.2,-0.1,-2.2;-0.4,2.3,-0.2]; BK = [-0.1,-2.1,-0.3;-0.1,0,0.6;1,0,0.8]; CK = [-1,0,0;-0.4,-0.2,0.3]; DK = [0,0,0;0,0,-1.2]; sysK = ss(AK,BK,CK,DK)
sysK =
A =
x1 x2 x3
x1 -0.2 2.1 0.7
x2 -2.2 -0.1 -2.2
x3 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3
x1 -0.1 -2.1 -0.3
x2 -0.1 0 0.6
x3 1 0 0.8
C =
x1 x2 x3
y1 -1 0 0
y2 -0.4 -0.2 0.3
D =
u1 u2 u3
y1 0 0 0
y2 0 0 -1.2
Continuous-time state-space model.
Задайте feedout и feedin векторы на основе вводов и выводов, которые будут соединены в обратной связи.
feedin = [4 2]; feedout = [1 3 4]; sys = feedback(sysG,sysK,feedin,feedout,-1)
sys =
A =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 -3 0.4 0.3 0.2 0 0
x2 1.18 -2.56 -0.8 -1.3 -0.2 0.3
x3 -1.312 0.584 -3 0.56 0.18 -0.27
x4 2.948 -2.929 -2.42 -0.452 1.974 0.889
x5 -0.84 -0.11 0.1 -2.2 -0.1 -2.2
x6 -1.12 -0.26 -1 -0.4 2.3 -0.2
B =
u1 u2 u3 u4 u5
x1 0.4 0 0.3 0.2 0
x2 -0.44 -1 0.1 -0.9 -0.5
x3 0.816 0.9 0.5 0.2 0
x4 -0.2112 -0.63 0 0 0.1
x5 0.12 0 0 0 0.1
x6 0.16 0 0 0 -1
C =
x1 x2 x3 x4 x5 x6
y1 0 -0.1 -1 0 0 0
y2 -0.672 -0.296 1.6 0.16 0.08 -0.12
y3 -1.204 1.428 1.2 0.12 0.06 -0.09
y4 -1.4 -0.2 0 0 0 0
D =
u1 u2 u3 u4 u5
y1 0 0 0 0 -1
y2 0.096 0.4 -0.7 0 0.9
y3 0.072 0.3 0 0 0
y4 0.2 0 0 0 0
Continuous-time state-space model.
size(sys)
State-space model with 4 outputs, 5 inputs, and 6 states.
sys результирующая модель в пространстве состояний замкнутого цикла, полученная путем соединения заданных вводов и выводов G и K.