Документация

Используя delaunay и функции delaunayn

delaunay и delaunayn функции берут набор точек и производят триангуляцию в матричном формате. Обратитесь к Матричному Формату Триангуляции для получения дополнительной информации об этой структуре данных. В 2D, delaunay функция часто используется, чтобы произвести триангуляцию, которая может использоваться, чтобы построить поверхность, заданную в терминах набора точек данных, имеющий разброс. В этом приложении важно отметить, что этот подход может только использоваться, если поверхность однозначна. Например, это не могло использоваться, чтобы построить сферическую поверхность, потому что существует два z значения, соответствующие синглу (xY) координата. Простой пример демонстрирует как delaunay функция может использоваться, чтобы построить поверхность, представляющую набор выборочных данных.

В этом примере показано, как использовать delaunay функция, чтобы создать 2D Триангуляцию Делоне из набора данных подводной горы. Подводная гора является подводной горой. Набор данных состоит из набора долготы (x) и широта (y) местоположения и соответствующие вертикальные изменения подводной горы (z) измеренный в тех координатах.

Загрузите набор данных подводной горы и просмотрите (xY) данные как график рассеивания.

load seamount
plot(x,y,'.','markersize',12)
xlabel('Longitude'), ylabel('Latitude')
grid on

Создайте Триангуляцию Делоне из этого набора точки и используйте triplot построить триангуляцию на существующем рисунке.

tri = delaunay(x,y);
hold on, triplot(tri,x,y), hold off

Добавьте данные о глубине (z) с подводной горы на лифт вершины и создают поверхность. Создайте новую фигуру и используйте trimesh построить поверхность в каркасном режиме.

figure
hidden on
trimesh(tri,x,y,z)
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude'),zlabel('Depth in Feet');

Если вы хотите построить поверхность в теневом режиме, используйте trisurf вместо trimesh.

3-D Триангуляция Делоне также может быть создана с помощью delaunay функция. Эта триангуляция состоит из тетраэдров.

В этом примере показано, как создать 3-D Триангуляцию Делоне случайного набора данных. Триангуляция построена с помощью tetramesh, и FaceAlpha опция добавляет прозрачность в график.

rng('default')
X = rand([30 3]);
tet = delaunay(X);
faceColor  = [0.6875 0.8750 0.8984];
tetramesh(tet,X,'FaceColor', faceColor,'FaceAlpha',0.3);

MATLAB обеспечивает delaunayn функционируйте, чтобы поддержать создание Триангуляций Делоне в размерности 4-D и выше. Две дополнительных функции tsearchn и dsearchn также обеспечиваются, чтобы поддержать пространственный поиск триангуляций N-D. Смотрите Пространственный Поиск для получения дополнительной информации об основанном на триангуляции поиске.

Используя Класс delaunayTriangulation

delaunayTriangulation класс обеспечивает другой способ создать Триангуляции Делоне в MATLAB. В то время как delaunay и delaunayTriangulation используйте тот же базовый алгоритм и произведите ту же триангуляцию, delaunayTriangulation предоставляет дополнительные методы, которые полезны для разработки находящихся в Delaunay алгоритмов. Эти методы похожи на функции, которые упакованы вместе с данными о триангуляции в контейнер, названный классом. Держание вместе всего в классе обеспечивает более организованную настройку, которая улучшает простоту использования. Это также улучшает производительность основанных на триангуляции поисковых запросов, таких как местоположение точки и ближайшего соседа. delaunayTriangulation поддерживает инкрементное редактирование Триангуляции Делоне. Также можно наложить ограничения ребра в 2D.

Представления триангуляции вводят triangulation класс, который поддерживает топологические и геометрические запросы для 2D и 3-D триангуляций. delaunayTriangulation специальный вид triangulation. Это означает, что можно выполнить любой triangulation запросите на delaunayTriangulation в дополнение к Delaunay-специфичным запросам. В более формальных терминах языка MATLAB, delaunayTriangulation подкласс triangulation.

В этом примере показано, как создать, запросите и отредактируйте Триангуляцию Делоне от seamount данные с помощью delaunayTriangulation. Набор данных подводной горы содержит (xY) местоположения и соответствующие вертикальные изменения (z) это задает поверхность подводной горы.

Загрузите и триангулируйте (xYданные.

load seamount
DT = delaunayTriangulation(x,y)

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [294x2 double]
    ConnectivityList: [566x3 double]
         Constraints: []

Constraints свойство пусто, потому что нет никаких наложенных ограничений ребра. Points свойство представляет координаты вершин и ConnectivityList свойство представляет треугольники. Вместе, эти два свойства задают матричные данные для триангуляции.

delaunayTriangulation класс является оберткой вокруг матричных данных, и это предлагает набор дополнительных методов. Вы получаете доступ к свойствам в delaunayTriangulation таким же образом вы получаете доступ к полям struct.

Доступ к данным о вершине.

DT.Points;

Доступ к данным о возможности соединения.

DT.ConnectivityList;

Доступ к первому треугольнику в ConnectivityList свойство.

DT.ConnectivityList(1,:)

ans = 1×3

   205   230   262

delaunayTriangulation обеспечивает простой способ индексировать в ConnectivityList матрица свойства.

Доступ к первому треугольнику.

DT(1,:)

ans = 1×3

   205   230   262

Исследуйте первую вершину первого треугольника.

DT(1,1)

ans = 205

Исследуйте все треугольники в триангуляции.

DT(:,:);

Индексация в delaunayTriangulation выведите, DT, работает как индексация в массив триангуляции выход от delaunay. Различием между этими двумя являются дополнительные методы, что можно обратиться к DT (например, nearestNeighbor и pointLocation).

Используйте triplot построить delaunayTriangulation. triplot функцией не является delaunayTriangulation метод, но это принимает и может построить delaunayTriangulation.

triplot(DT); 
axis equal
xlabel('Longitude'), ylabel('Latitude')
grid on

В качестве альтернативы вы могли использовать triplot(DT(:,:), DT.Points(:,1), DT.Points(:,2)); получить тот же график.

Используйте delaunayTriangulation метод, convexHull, вычислить выпуклую оболочку и добавить его в график. Поскольку у вас уже есть Триангуляция Делоне, этот метод позволяет вам выводить выпуклую оболочку более эффективно, чем полный расчет с помощью convhull.

hold on
k = convexHull(DT);
xHull = DT.Points(k,1);
yHull = DT.Points(k,2);
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
hold off

Можно инкрементно отредактировать delaunayTriangulation добавить или удалить точки. Если необходимо добавить точки в существующую триангуляцию, то инкрементное сложение быстрее, чем полная перетриангуляция увеличенного набора точки. Инкрементное удаление точек более эффективно, когда число точек, которое будет удалено, мало относительно существующего числа точек.

Отредактируйте триангуляцию, чтобы удалить точки на выпуклой оболочке от предыдущего расчета.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on

% The convex hull topology duplicates the start and end vertex.
% Remove the duplicate entry.
k(end) = [];

% Now remove the points on the convex hull.
DT.Points(k,:) = []

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [274x2 double]
    ConnectivityList: [528x3 double]
         Constraints: []

% Plot the new triangulation.
hold on
triplot(DT); 
hold off

Существует одна вершина, которая является только в контуре выпуклой оболочки, которая не была демонтирована. То, что это является внутренним к оболочке, видно с помощью инструмента Zoom-In на рисунке. Вы могли построить метки вершины, чтобы определить индекс этой вершины и удалить его из триангуляции. В качестве альтернативы можно использовать nearestNeighbor метод, чтобы идентифицировать индекс с большей готовностью.

Точка близко к местоположению (211.6,-48.15). Используйте nearestNeighbor метод, чтобы найти самую близкую вершину.

vertexId = nearestNeighbor(DT, 211.6, -48.15)

vertexId = 50

Теперь удалите ту вершину из триангуляции.

DT.Points(vertexId,:) = []

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [273x2 double]
    ConnectivityList: [525x3 double]
         Constraints: []

Постройте новую триангуляцию.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Добавьте точки в существующую триангуляцию. Добавьте 4 точки, чтобы сформировать прямоугольник вокруг триангуляции.

Padditional = [210.9 -48.5; 211.6 -48.5; ...
     211.6 -47.9; 210.9 -47.9];
DT.Points(end+(1:4),:) = Padditional

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [277x2 double]
    ConnectivityList: [548x3 double]
         Constraints: []

Закройте все существующие фигуры.

close all

Постройте новую триангуляцию.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Можно отредактировать точки в триангуляции, чтобы переместить их в новое местоположение. Отредактируйте первый из дополнительного набора точки (вершина ID 274).

DT.Points(274,:) = [211 -48.4];

Закройте все существующие фигуры.

close all

Постройте новую триангуляцию

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Используйте метод triangulation класс, vertexAttachments, найти присоединенные треугольники. Поскольку количество треугольников, присоединенных к вершине, является переменным, метод возвращает присоединенные треугольные идентификаторы в массиве ячеек. Вам нужны фигурные скобки, чтобы извлечь содержимое.

attTris = vertexAttachments(DT,274);
hold on
triplot(DT(attTris{:},:),DT.Points(:,1),DT.Points(:,2),'g')
hold off

delaunayTriangulation также может использоваться, чтобы триангулировать точки в трехмерном пространстве. Получившаяся триангуляция состоит из тетраэдров.

В этом примере показано, как использовать delaunayTriangulation создать и построить триангуляцию 3-D точек.

rng('default')
P = rand(30,3);
DT = delaunayTriangulation(P)

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [30x3 double]
    ConnectivityList: [102x4 double]
         Constraints: []

faceColor  = [0.6875 0.8750 0.8984];
tetramesh(DT,'FaceColor', faceColor,'FaceAlpha',0.3);

tetramesh графики функций и внутренние и внешние поверхности триангуляции. Для больших 3-D триангуляций, строя внутренние поверхности может быть ненужное использование ресурсов. График граничной силы быть более соответствующим. Можно использовать freeBoundary метод, чтобы получить граничную триангуляцию в матричном формате. Затем передайте результат trimesh или trisurf.

Ограниченная триангуляция Делоне

delaunayTriangulation класс позволяет вам ограничивать ребра в 2D триангуляции. Это означает, что можно выбрать пару точек в триангуляции и ограничить ребро соединять те точки. Можно изобразить это как “принуждение” ребра между одной или несколькими парами точек. Следующий пример показывает, как ограничения ребра могут влиять на триангуляцию.

Триангуляцией ниже является Триангуляция Делоне, потому что она уважает пустой критерий описанного круга.

Триангулируйте набор точек с ограничением ребра, заданным между вершиной V1 и V3.

Задайте набор точки.

P = [2 4; 6 1; 9 4; 6 7];

Задайте ограничение, C, между V1 и V3.

C = [1 3];
DT = delaunayTriangulation(P,C);

Постройте триангуляцию и добавьте аннотации.

triplot(DT)

% Label the vertices.
hold on
numvx = size(P,1);
vxlabels = arrayfun(@(n) {sprintf('V%d', n)}, (1:numvx)');
Hpl = text(P(:,1)+0.2, P(:,2)+0.2, vxlabels, 'FontWeight', ...
  'bold', 'HorizontalAlignment','center', 'BackgroundColor', ...
  'none');
hold off


% Use the incenters to find the positions for placing triangle labels on the plot.
hold on
IC = incenter(DT);
numtri = size(DT,1);
trilabels = arrayfun(@(P) {sprintf('T%d', P)}, (1:numtri)');
Htl = text(IC(:,1),IC(:,2),trilabels,'FontWeight','bold', ...
'HorizontalAlignment','center','Color','blue');
hold off

% Plot the circumcircle associated with the triangle, T1.
hold on
[CC,r] = circumcenter(DT);
theta = 0:pi/50:2*pi;
xunit = r(1)*cos(theta) + CC(1,1);
yunit = r(1)*sin(theta) + CC(1,2);
plot(xunit,yunit,'g');
axis equal
hold off

Ограничение между вершинами (V1, V3) соблюдался, однако, критерий Delaunay делался недействительным. Это также делает недействительным отношение ближайшего соседа, которое свойственно от Триангуляции Делоне. Это означает nearestNeighbor метод поиска обеспечивается delaunayTriangulation не может поддерживаться, если триангуляция имеет ограничения.

В типовых приложениях триангуляция может состоять из многих точек, и относительно небольшое количество ребер в триангуляции может быть ограничено. Такая триангуляция, как говорят, локально non-Delaunay, потому что много треугольников в триангуляции могут уважать критерий Delaunay, но локально могут быть некоторые треугольники, которые не делают. Во многих приложениях локальная релаксация пустого свойства описанного круга не является беспокойством.

Ограниченные триангуляции обычно используются, чтобы триангулировать невыпуклый многоугольник. Ограничения дают нам соответствие между ребрами многоугольника и ребрами триангуляции. Это отношение позволяет вам извлечь триангуляцию, которая представляет область. Следующий пример показывает, как использовать ограниченный delaunayTriangulation триангулировать невыпуклый многоугольник.

Задайте и постройте многоугольник.

figure()
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
P = [0 0; 16 0; 16 2; 2 2; 2 3; 8 3; 8 5; 0 5];
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2,'FaceColor',...
     'none','EdgeColor','r');
 
% Label the points.
hold on
numvx = size(P,1);
vxlabels = arrayfun(@(n) {sprintf('P%d', n)}, (1:numvx)');
Hpl = text(P(:,1)+0.2, P(:,2)+0.2, vxlabels, 'FontWeight', ...
  'bold', 'HorizontalAlignment','center', 'BackgroundColor', ...
  'none');
hold off

Создайте и постройте триангуляцию вместе с контуром многоугольника.

figure()
subplot(2,1,1);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal

P = [0 0; 16 0; 16 2; 2 2; 2 3; 8 3; 8 5; 0 5];
DT = delaunayTriangulation(P);
triplot(DT)
hold on; 
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2,'FaceColor',...
     'none','EdgeColor','r');
hold off

% Plot the standalone triangulation in a subplot.
subplot(2,1,2);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)

Эта триангуляция не может использоваться, чтобы представлять область многоугольника, потому что некоторые треугольники сокращали через контур. Необходимо наложить ограничение на ребра, которые сокращаются ребрами триангуляции. Поскольку все ребра нужно уважать, необходимо ограничить все ребра. Шаги ниже показа, как ограничить все ребра.

Введите ограниченное определение ребра. Наблюдайте от аннотируемой фигуры, где вам нужны ограничения (между (V1, V2), (V2, V3), и так далее).

C = [1 2; 2 3; 3 4; 4 5; 5 6; 6 7; 7 8; 8 1];

В общем случае, если у вас есть N точки в последовательности, которые задают многоугольный контур, ограничения, могут быть описаны как C = [(1:(N-1))' (2:N)'; N 1];.

Задайте ограничения, когда вы создадите delaunayTriangulation.

DT = delaunayTriangulation(P,C);

В качестве альтернативы можно наложить ограничения на существующую триангуляцию путем установки Constraints свойство: DT.Constraints = C;.

Постройте триангуляцию и многоугольник.

figure('Color','white')
subplot(2,1,1);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)
hold on; 
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2, ...
     'FaceColor','none','EdgeColor','r'); 
hold off

% Plot the standalone triangulation in a subplot.
subplot(2,1,2);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)

График показывает, что ребра триангуляции уважают контур многоугольника. Однако триангуляция заполняет вогнутости. То, что необходимо, является триангуляцией, которая представляет многоугольную область. Можно извлечь треугольники в многоугольнике с помощью delaunayTriangulation метод, isInterior. Этот метод возвращает логический массив чей true и false значения, которые указывают, являются ли треугольники в ограниченной геометрической области. Анализ основан на теореме Кривой Жорданы, и контуры заданы ограничениями ребра. I-ый треугольник в триангуляции считается в области, если i-ый логический флаг верен, в противном случае это находится вне.

Теперь используйте isInterior метод, чтобы вычислить и построить набор доменных треугольников.

% Plot the constrained edges in red.
figure('Color','white')
subplot(2,1,1);
plot(P(C'),P(C'+size(P,1)),'-r','LineWidth', 2);
axis([-1 17 -1 6]);

% Compute the in/out status.
IO = isInterior(DT);
subplot(2,1,2);
hold on;
axis([-1 17 -1 6]);

% Use triplot to plot the triangles that are inside.
% Uses logical indexing and dt(i,j) shorthand
% format to access the triangulation.
triplot(DT(IO, :),DT.Points(:,1), DT.Points(:,2),'LineWidth', 2)
hold off;