Графы и матрицы
Этот пример показывает приложение разреженных матриц и объясняет отношение между графиками и матрицами.
Граф - это набор узлов с определенными связями, или ребрами, между ними. Графы бывают разных форм и размеров. Одним из примеров является граф связности геодезического купола Бакминстера Фуллера, который также имеет форму футбольного мяча или молекулы углерода-60.
В MATLAB® можно использовать bucky функция, чтобы сгенерировать график геодезического купола.
[B,V] = bucky;
G = graph(B);
p = plot(G);
axis equal
Также можно задать координаты для узлов, чтобы изменить отображение графика.
p.XData = V(:,1); p.YData = V(:,2);
bucky функция может использоваться, чтобы создать график, потому что это возвращает матрицу смежности. Матрица смежности является одним способом представлять узлы и ребра в графике.
Чтобы создать матрицу смежности графика, узлы пронумерованы 1 к N. Затем каждый элемент (i, j) N на n матрицы установлен в 1, если узел i соединяюсь с узлом j, и 0 в противном случае. Таким образом для неориентированных графов матрица смежности симметрична, но это не должно иметь место для ориентированных графов.
Например, вот простой график и его связанная матрица смежности.
% Define a matrix A. A = [0 1 1 0 ; 1 0 0 1 ; 1 0 0 1 ; 0 1 1 0]; % Draw a picture showing the connected nodes. cla subplot(1,2,1); gplot(A,[0 1;1 1;0 0;1 0],'.-'); text([-0.2, 1.2 -0.2, 1.2],[1.2, 1.2, -.2, -.2],('1234')', ... 'HorizontalAlignment','center') axis([-1 2 -1 2],'off') % Draw a picture showing the adjacency matrix. subplot(1,2,2); xtemp = repmat(1:4,1,4); ytemp = reshape(repmat(1:4,4,1),16,1)'; text(xtemp-.5,ytemp-.5,char('0'+A(:)),'HorizontalAlignment','center'); line([.25 0 0 .25 NaN 3.75 4 4 3.75],[0 0 4 4 NaN 0 0 4 4]) axis off tight
Разреженные матрицы особенно полезны для представления очень больших графиков. Это вызвано тем, что каждый узел обычно соединяется только с несколькими другими узлами. В результате плотность ненулевых записей в матрице смежности часто относительно мала для больших графиков. Маркерная матрица смежности мяча является хорошим примером, поскольку это - 60 60 симметричная разреженная матрица только с 180 ненулевыми элементами. Плотность этой матрицы - всего 5%.
Поскольку матрица смежности задает график, можно построить фрагмент маркерного мяча при помощи подмножества записей в матрице смежности.
Используйте adjacency функция, чтобы создать новую матрицу смежности для графика. Отобразите узлы в одном полушарии маркерного мяча путем индексации в матрицу смежности, чтобы создать новый, меньший график.
figure A = adjacency(G); H = graph(A(1:30,1:30)); h = plot(H);
Чтобы визуализировать матрицу смежности этого полушария, используйте spy функционируйте, чтобы построить контур ненулевых элементов в матрице смежности.
Обратите внимание на то, что матрица симметрична, с тех пор, если узел i соединяюсь с узлом j, затем узел j соединяется с узлом i.
spy(A(1:30,1:30))
title('Top Left Corner of Bucky Ball Adjacency Matrix')
Наконец, вот spy график целой маркерной матрицы смежности мяча.
spy(A)
title('Bucky Ball Adjacency Matrix')