Предсказание населения США

Этот пример показывает, что экстраполирование данных с помощью полиномов даже небольшой степени опасно и ненадежно.

Этот пример является более старым, чем MATLAB®. Это запустилось как упражнение в Компьютерных Методах для Математических вычислений, Форсайтом, Малкольмом и Молером, опубликованным Prentice Hall в 1 977.

Теперь MATLAB делает намного легче варьироваться параметры и видеть результаты, но базовые математические принципы неизменны.

Создайте и постройте два вектора с данными о переписи США от 1 910 до 2000.

% Time interval
t = (1910:10:2000)';

% Population
p = [91.972 105.711 123.203 131.669 150.697...
    179.323 203.212 226.505 249.633 281.422]';

% Plot
plot(t,p,'bo');
axis([1910 2020 0 400]);
title('Population of the U.S. 1910-2000');
ylabel('Millions');

Каково ваше предположение для населения в году 2010?

p

p = 10×1

   91.9720
  105.7110
  123.2030
  131.6690
  150.6970
  179.3230
  203.2120
  226.5050
  249.6330
  281.4220

Соответствуйте данным полиномом в t и используйте его, чтобы экстраполировать население в t = 2010. Получите коэффициенты в полиноме путем решения линейной системы уравнений, включающих 11 11 матрицу Вандермонда, с элементами как степени масштабированного времени, A(i,j) = s(i)^(n-j).

n = length(t);
s = (t-1950)/50;
A = zeros(n);
A(:,end) = 1;
for j = n-1:-1:1
   A(:,j) = s .* A(:,j+1);
end

Получите коэффициенты c для полинома степени d это соответствует данным p путем решения линейной системы уравнений, включающих последний d+1 столбцы матрицы Вандермонда:

A(:,n-d:n)*c ~= p

В любом случае используйте оператор обратной косой черты, чтобы решить систему. Коэффициенты для кубического соответствия:

c = A(:,n-3:n)\p

c = 4×1

   -5.7042
   27.9064
  103.1528
  155.1017

Теперь оцените полином в каждый год от 1 910 до 2010 и постройте результаты.

v = (1910:2020)';
x = (v-1950)/50;
w = (2010-1950)/50;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z+15,num2str(z));
hold off

Сравните кубическое соответствие с биквадратным. Заметьте, что экстраполируемая точка очень отличается.

c = A(:,n-4:n)\p;
y = polyval(c,x);
z = polyval(c,w);

hold on
plot(v,y,'k-');
plot(2010,z,'ks');
text(2010,z-15,num2str(z));
hold off

Когда степень увеличивается, экстраполяция становится еще более ошибочной.

cla
plot(t,p,'bo')
hold on
axis([1910 2020 0 400])
colors = hsv(8);
labels = {'data'};
for d = 1:8
   [Q,R] = qr(A(:,n-d:n));
   R = R(1:d+1,:);
   Q = Q(:,1:d+1);
   c = R\(Q'*p);    % Same as c = A(:,n-d:n)\p;
   y = polyval(c,x);
   z = polyval(c,11);
   plot(v,y,'color',colors(d,:));
   labels{end+1} = ['degree = ' int2str(d)];
end
legend(labels, 'Location', 'NorthWest')
hold off

Смотрите также

polyfit