Решите жесткий транзисторный дифференциал алгебраическое уравнение

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как использовать ode23t решить жесткое дифференциальное алгебраическое уравнение (DAE), которое описывает электрическую схему [1]. Проблема с одним транзисторным усилителем, закодированная в файле в качестве примера amp1dae.m, может быть переписана в полуявной форме, но этот пример решает его в своей исходной форме $M u^{'} = ϕ (u)$ . Проблема включает постоянную, сингулярную большую матрицу $M$ .

Схема транзисторного усилителя содержит шесть резисторов, три конденсатора и транзистор.

Начальный сигнал напряжения $U_{e} (t) = 0.4 \sin (200 π t)$ .
Рабочее напряжение $U_{b} = 6$ .
Напряжениями в узлах дают $U_{i} (t) (i = 1, 2, 3, 4, 5)$ .
Значения резисторов $R_{i} (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6)$ являются постоянными, и ток через каждый резистор удовлетворяет $I = U / R$ .
Значения конденсаторов $C_{i} (i = 1, 2, 3)$ являются постоянными, и ток через каждый конденсатор удовлетворяет $I = C \cdot dU / dt$ .

Цель состоит в том, чтобы решить для выходного напряжения через узел 5, $U_{5} (t)$ .

Чтобы решить это уравнение в MATLAB®, необходимо закодировать уравнения, закодировать большую матрицу и установить начальные условия и интервал интегрирования прежде, чем вызвать решатель ode23t. Можно или включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.

Большая матрица кода

Используя закон Кирчофф, чтобы компенсировать ток через каждый узел (1 - 5), можно получить систему пяти уравнений, описывающих схему:

$\begin{array}{l} node 1 : \frac{U_{e} (t)}{R_{0}} - \frac{U_{1}}{R_{0}} + C_{1} ({U_{2}}^{'} - {U_{1}}^{'}) = 0, \\ node 2 : \frac{U_{b}}{R_{2}} - U_{2} (\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}) + C_{1} ({U_{1}}^{'} - {U_{2}}^{'}) - 0.01 f (U_{2} - U_{3}) = 0, \\ node 3 : f (U_{2} - U_{3}) - \frac{U_{3}}{R_{3}} - C_{2} {U_{3}}^{'} = 0, \\ node 4 : \frac{U_{b}}{R_{4}} - \frac{U_{4}}{R_{4}} + C_{3} ({U_{5}}^{'} - {U_{4}}^{'}) - 0.99 f (U_{2} - U_{3}) = 0, \\ node 5 : - \frac{U_{5}}{R_{5}} + C_{3} ({U_{4}}^{'} - {U_{5}}^{'}) = 0 . \end{array}$

Большая матрица этой системы, найденной путем сбора производных терминов на левой стороне уравнений, имеет форму

$M = (\begin{array}{ccccc} - c_{1} & c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ c_{1} & - c_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - c_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - c_{3} & c_{3} \\ 0 & 0 & 0 & c_{3} & - c_{3} \end{array}),$

где $c_{k} = k \times 1 0^{- 6}$ для $k = 1, 2, 3$ .

Создайте большую матрицу с соответствующими константами $c_{k}$ , и затем используйте odeset функция, чтобы задать большую матрицу. Даже при том, что очевидно, что большая матрица сингулярна, оставьте 'MassSingular' опция в ее значении по умолчанию 'maybe' проверять автоматическое обнаружение проблемы ДАУ решателем.

c = 1e-6 * (1:3);
M = zeros(5,5);
M(1,1) = -c(1);
M(1,2) =  c(1);
M(2,1) =  c(1);
M(2,2) = -c(1);
M(3,3) = -c(2);
M(4,4) = -c(3);
M(4,5) =  c(3);
M(5,4) =  c(3);
M(5,5) = -c(3);
opts = odeset('Mass',M);

Уравнения кода

Функциональный transampdae содержит систему уравнений для этого примера. Функция задает значения для всех напряжений и постоянных параметров. Производные, собранные на левой стороне уравнений, закодированы в большой матрице и transampdae кодирует правую сторону уравнений.

function dudt = transampdae(t,u)
% Define voltages and parameters
Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
Ub = 6;
R0 = 1000;
R15 = 9000;
alpha = 0.99;
beta = 1e-6;
Uf = 0.026;

% Define system of equations
f23 = beta*(exp((u(2) - u(3))/Uf) - 1);
dudt = [ -(Ue(t) - u(1))/R0
    -(Ub/R15 - u(2)*2/R15 - (1-alpha)*f23)
    -(f23 - u(3)/R15)
    -((Ub - u(4))/R15 - alpha*f23)
    (u(5)/R15) ];
end

Примечание: Эта функция включена как локальная функция в конце примера.

Начальные условия кода

Установите начальные условия. Этот пример использует сопоставимые начальные условия для тока через каждый узел, вычисленный в [1].

Ub = 6;
u0(1) = 0;
u0(2) = Ub/2;
u0(3) = Ub/2;
u0(4) = Ub;
u0(5) = 0;

Решите систему уравнений

Решите систему ДАУ по временному интервалу [0 0.05] использование ode23t.

tspan = [0 0.05];
[t,u] = ode23t(@transampdae,tspan,u0,opts);

Постройте результаты

Постройте начальное напряжение $U_{e} (t)$ и выходное напряжение $U_{5} (t)$ .

Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
plot(t,Ue(t),'o',t,u(:,5),'.')
axis([0 0.05 -3 2]);
legend('Input Voltage U_e(t)','Output Voltage U_5(t)','Location','NorthWest');
title('One Transistor Amplifier DAE Problem Solved by ODE23T');
xlabel('t');

Figure contains an axes object. The axes object with title One Transistor Amplifier DAE Problem Solved by ODE23T contains 2 objects of type line. These objects represent Input Voltage U_e(t), Output Voltage U_5(t).

Ссылки

[1] Hairer, E. и Герхард Ваннер. Решение Обыкновенных дифференциальных уравнений II: Жесткие и Дифференциально-алгебраические проблемы. Спрингер Берлин Гейдельберг, 1991, p. 377.

Локальные функции

Перечисленный здесь локальная функция помощника что решатель ОДУ ode23t вызовы, чтобы вычислить решение. В качестве альтернативы можно сохранить эту функцию как ее собственный файл в директории на пути MATLAB.

function dudt = transampdae(t,u)
% Define voltages and parameters
Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
Ub = 6;
R0 = 1000;
R15 = 9000;
alpha = 0.99;
beta = 1e-6;
Uf = 0.026;

% Define system of equations
f23 = beta*(exp((u(2) - u(3))/Uf) - 1);
dudt = [ -(Ue(t) - u(1))/R0
    -(Ub/R15 - u(2)*2/R15 - (1-alpha)*f23)
    -(f23 - u(3)/R15)
    -((Ub - u(4))/R15 - alpha*f23)
    (u(5)/R15) ];
end

Смотрите также

ode23t | ode15s

Документация