Нелинейные ограничения с градиентами

В этом примере показано, как решить нелинейную задачу с нелинейными ограничениями с помощью производной информации.

Обычно, стандартные программы минимизации используют числовые градиенты, вычисленные приближением конечной разности. Эта процедура систематически тревожит каждую переменную для того, чтобы вычислить ограничительные частные производные и функция. В качестве альтернативы можно обеспечить функцию, чтобы вычислить частные производные аналитически. Как правило, когда вы предоставляете производную информацию, решатели работают более точно и эффективно.

Целевая функция и нелинейное ограничение

Проблема состоит в том, чтобы решить

$\min_{x} f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1),$

удовлетворяющее ограничениям

$\begin{array}{l} x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} \leq - 1.5 \\ x_{1} x_{2} \geq - 10 . \end{array}$

Поскольку fmincon решатель ожидает, что ограничения будут написаны в форме $c (x) \leq 0$ , запишите свою ограничительную функцию, чтобы возвратить следующее значение:

$c (x) = [\begin{array}{c} x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} + 1.5 \\ - 10 - x_{1} x_{2} \end{array}]$ .

Целевая функция с градиентом

Целевая функция

$f (x) = e^{x_{1}} (4 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 4 x_{1} x_{2} + 2 x_{2} + 1)$ .

Вычислите градиент $f (x)$ относительно переменных $x_{1}$ и $x_{2}$ .

$\nabla f (x) = [\begin{array}{c} f (x) + \exp (x_{1}) (8 x_{1} + 4 x_{2}) \\ \exp (x_{1}) (4 x_{1} + 4 x_{2} + 2) \end{array}]$ .

objfungrad функция помощника в конце этого примера возвращает обоих целевая функция $f (x)$ и его градиент во втором выходе gradf. Установите @objfungrad как цель.

fun = @objfungrad;

Ограничительная функция с градиентом

Функция помощника confungrad нелинейная ограничительная функция; это появляется в конце этого примера.

Производная информация для ограничения неравенства имеет каждый столбец, соответствуют одному ограничению. Другими словами, градиент ограничений находится в следующем формате:

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial c_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}] = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{2} - 1 & - x_{2} \\ x_{1} - 1 & - x_{1} \end{array}] .$

Установите @confungrad как нелинейная ограничительная функция.

nonlcon = @confungrad;

Установите опции использовать производную информацию

Укажите к fmincon решатель, что цель и ограничительные функции предоставляют производную информацию. Для этого используйте optimoptions установить SpecifyObjectiveGradient и SpecifyConstraintGradient значения опции к true.

options = optimoptions('fmincon',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true);

Решите задачу

Установите начальную точку на [-1,1].

x0 = [-1,1];

Проблема не имеет никаких границ или линейных ограничений, таким образом, устанавливает те значения аргументов на [].

A = [];
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];

Вызовите fmincon решать задачу.

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x = 1×2

   -9.5473    1.0474

fval = 0.0236

Решение совпадает с в примере Нелинейными Ограничениями неравенства, который решает задачу, не используя производную информацию. Преимущество использования производных состоит в том, что решение проблемы берет меньше вычислений функции при получении робастности, несмотря на то, что это преимущество не очевидно в этом примере. Используя еще большую производную информацию, как в fmincon Алгоритме Внутренней точки с Аналитическим Гессианом, приносит еще больше пользы, такой как меньше итераций решателя.

Функции помощника

Этот код создает objfungrad функция помощника.

function [f,gradf] = objfungrad(x)
f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);
% Gradient of the objective function:
if nargout  > 1
    gradf = [ f + exp(x(1)) * (8*x(1) + 4*x(2)), 
    exp(x(1))*(4*x(1)+4*x(2)+2)];
end
end

Этот код создает confungrad функция помощника.

function [c,ceq,DC,DCeq] = confungrad(x)
c(1) = 1.5 + x(1) * x(2) - x(1) - x(2); % Inequality constraints
c(2) = -x(1) * x(2)-10; 
% No nonlinear equality constraints
ceq=[];
% Gradient of the constraints:
if nargout > 2
    DC= [x(2)-1, -x(2);
        x(1)-1, -x(1)];
    DCeq = [];
end
end

Документация