Матрицы вращения используются, чтобы вращать вектор в новое направление.

В преобразовании векторов в 3-мерном пространстве часто сталкиваются с матрицами вращения. Матрицы вращения используются в двух смыслах: они могут использоваться, чтобы вращать вектор в новое положение, или они могут использоваться, чтобы вращать координатный базис (или система координат) в новую. В этом случае вектор оставлен в покое, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от тех в исходном базисе. В Евклидово пространстве существует три основных вращения: один каждый вокруг x, y и осей z. Каждое вращение задано углом вращения. Угол поворота задан, чтобы быть положительным для вращения, которое является против часовой стрелки, когда просматривается наблюдателем, смотрящим вдоль оси вращения на источник. Любое произвольное вращение может состоять из комбинации этих трех (теорема вращения Эйлера). Например, можно вращать вектор в любом направлении с помощью последовательности трех вращений: $$v^{\prime }=Av=R_z(\gamma )R_y(\beta )R_x(\alpha )v$$.

Матрицами вращения, которые вращают вектор вокруг x, y, и оси z, дают:

Следующие три рисунка показывают то, на что положительные вращения похожи для каждой оси вращения:

Для любого вращения существует обратное удовлетворение вращения $$A^{-1}A=1$$. Например, инверсия матрицы вращения оси X получена путем изменения знака угла:

Этот пример иллюстрирует основное свойство: обратная матрица вращения является транспонированием оригинала. Матрицы вращения удовлетворяют A’A = 1, и следовательно det(A) = 1. При вращениях длины вектора сохраняются, а также углы между векторами.

Мы можем думать о вращениях в другом отношении. Рассмотрите исходный набор базисных векторов, $$i,j,k$$, и вращайте их всех использование матрицы вращения A. Это производит новый набор базисных векторов $$i^{\prime },j{,}^{\prime }{k}^{\prime }$$ связанный с оригиналом:

Используя транспонирование, можно записать новые базисные векторы как линейные комбинации старых базисных векторов:

Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов:

Используя алгебраическую манипуляцию, можно вывести преобразование компонентов для фиксированного вектора, когда базис (или система координат) вращается. Это преобразование использует транспонирование матрицы вращения.

Следующая фигура иллюстрирует, как вектор преобразовывается, когда система координат вращается вокруг оси X. Рисунок после показывает, как это преобразование может быть интерпретировано как вращение вектора в противоположном направлении.