В этом примере рассмотрите Аттрактор Лоренца, описывающий уникальный набор хаотических решений.

Загрузите набор данных и частоту дискретизации fs к рабочей области, и визуализируют Аттрактор Лоренца в 3-D.

load('lorenzAttractorExampleData.mat','data','fs');
plot3(data(:,1),data(:,2),data(:,3));

В данном примере используйте данные направления X Аттрактора Лоренца. Начиная с Lag неизвестно, оцените задержку с помощью phaseSpaceReconstruction. Установите размерность на 3, поскольку Аттрактор Лоренца является 3D системой. dim и lag параметры требуются, чтобы создавать логарифмическое расхождение по сравнению с графиком шага расширения.

xdata = data(:,1);
dim = 3;
[~,lag] = phaseSpaceReconstruction(xdata,[],dim)

lag = 10

Создайте среднее логарифмическое расхождение по сравнению с графиком шага расширения для Аттрактора Лоренца, с помощью lag значение получено на предыдущем шаге. Установите достаточно большую область значений расширения получать все шаги расширения.

eRange = 200;
lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',eRange)

Первая пунктирная, вертикальная зеленая линия (слева) указывает на минимальное количество шагов, используемых, чтобы оценить область значений расширения, в то время как вторая вертикальная зеленая линия (справа), представляет максимальное количество используемых шагов. Вместе, первые и вторые вертикальные линии представляют область значений расширения. Пунктирная красная линия указывает на линейную подходящую линию для данных в области значений расширения.

Чтобы вычислить самую большую экспоненту Ляпунова, сначала необходимо определить область значений расширения, необходимую для точной оценки.

В графике перетащите эти две пунктирных, вертикальных зеленых линии, чтобы лучше всего соответствовать линейной подходящей линии к исходной линии данных, чтобы получить область значений расширения: ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$.

Отметьте новые значения области значений расширения после перетаскивания двух вертикальных линий для соответствующей подгонки.

Поскольку диапазон расширения может только быть указан с помощью целых чисел, округления ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$ до ближайшего целого числа. Найдите самую большую экспоненту Ляпунова Аттрактора Лоренца с помощью нового значения области значений расширения.

Kmin = 21;
Kmax = 161;
lyapExp = lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',[Kmin Kmax])

lyapExp = 1.6834

Отрицательная экспонента Ляпунова указывает на сходимость, в то время как положительные экспоненты Ляпунова демонстрируют расхождение и хаос. Величина lyapExp индикатор уровня сходимости или расхождения бесконечно мало близких траекторий.