Загрузитесь Используя цепочечный лестничный метод

Скрипт Open Live Script

В этом примере показано, как применяться, цепочечная лестничная структура загружают метод, чтобы сгенерировать несколько developmentTriangle объекты оценить окончательные требования.

Детерминированные методы оценки требования производят точечные оценки резервных значений без информации о неопределенности в этих оценках. Цель стохастического метода оценки требования состоит в том, чтобы оценить изменчивость предполагаемых резервных значений. Цепочечный лестничный подход начальной загрузки является основанным на симуляции методом, чтобы случайным образом изменить developmentTriangle данные и производят распределение предполагаемых резервов, которое представляет изменчивость предполагаемых резервных значений. Этот пример основан на работе Вютрича и Мерца [1].

Загрузка данных

load('InsuranceClaimsData.mat');
disp(head(data));

    OriginYear    DevelopmentYear    ReportedClaims    PaidClaims
    __________    _______________    ______________    __________

       2010             12               3995.7          1893.9  
       2010             24                 4635          3371.2  
       2010             36               4866.8          4079.1  
       2010             48               4964.1            4487  
       2010             60               5013.7          4711.4  
       2010             72               5038.8          4805.6  
       2010             84                 5059          4853.7  
       2010             96               5074.1          4877.9

Создайте `developmentTriangle`

Создайте developmentTriangle объект и использование claimsPlot визуализировать developmentTriangle. Для получения дополнительной информации о неоплаченной оценке требований см. Обзор Методов оценки Требований для Non-Life Insurance.

dTriangle = developmentTriangle(data);
dTriangleTable = view(dTriangle);
% visualize the development triangle
claimsPlot(dTriangle)

Figure contains an axes object. The axes object with title Cumulative Claims Development contains 10 objects of type line. These objects represent 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019.

Анализируйте `developmentTriangle`

developmentTriangle соединитесь отношения оцениваются с помощью формулы:

$\hat{f_{j}} = \frac{\sum_{i = 0}^{I - j - 1} C_{i, j + 1}}{\sum_{i = 0}^{I - j - 1} C_{i, j}}$

Используйте linkRatios вычислить факторы от возраста к возрасту.

factorsTable = linkRatios(dTriangle);

Используйте linkRatioAverages вычислить средние значения факторов от возраста к возрасту.

averageFactorsTable = linkRatioAverages(dTriangle);
disp(averageFactorsTable);

                                          12-24     24-36     36-48     48-60     60-72     72-84     84-96    96-108    108-120
                                          ______    ______    ______    ______    ______    ______    _____    ______    _______

    Simple Average                        1.1767    1.0563    1.0249    1.0107    1.0054    1.0038    1.003    1.002      1.001 
    Simple Average - Latest 5              1.172     1.056    1.0268    1.0108    1.0054    1.0038    1.003    1.002      1.001 
    Simple Average - Latest 3               1.17    1.0533     1.027    1.0117    1.0057    1.0037    1.003    1.002      1.001 
    Medial Average - Latest 5x1           1.1733    1.0567    1.0267    1.0103     1.005     1.004    1.003    1.002      1.001 
    Volume-weighted Average               1.1766    1.0563     1.025    1.0107    1.0054    1.0038    1.003    1.002      1.001 
    Volume-weighted Average - Latest 5     1.172     1.056    1.0268    1.0108    1.0054    1.0038    1.003    1.002      1.001 
    Volume-weighted Average - Latest 3    1.1701    1.0534     1.027    1.0117    1.0057    1.0037    1.003    1.002      1.001 
    Geometric Average - Latest 4            1.17     1.055    1.0267     1.011    1.0055    1.0037    1.003    1.002      1.001

Отобразите выбранную таблицу факторов от возраста к возрасту и вычислите совокупный фактор разработки (CDF) с помощью cdfSummary.

dTriangle.SelectedLinkRatio = averageFactorsTable{'Volume-weighted Average',:};
currentSelectedFactors = dTriangle.SelectedLinkRatio;
dTriangle.TailFactor = 1;
selectedFactorsTable = cdfSummary(dTriangle);
disp(selectedFactorsTable);

                                12-24      24-36      36-48      48-60      60-72     72-84      84-96     96-108     108-120    Ultimate
                               _______    _______    _______    _______    _______    ______    _______    _______    _______    ________

    Selected                    1.1766     1.0563      1.025     1.0107     1.0054    1.0038      1.003      1.002     1.001        1    
    CDF to Ultimate             1.3072      1.111     1.0518     1.0261     1.0153    1.0098      1.006      1.003     1.001        1    
    Percent of Total Claims    0.76501    0.90008    0.95075    0.97453    0.98496    0.9903    0.99402    0.99701     0.999        1

Отобразите последнюю диагональ.

latestDiagonal = dTriangle.LatestDiagonal;

Вычислите спроектированные окончательные требования с помощью ultimateClaims.

projectedUltimateClaims = ultimateClaims(dTriangle);

Отобразите полный треугольник разработки использование fullTriangle.

fullTriangleTable = fullTriangle(dTriangle);
disp(fullTriangleTable);

              12        24        36        48        60        72        84        96       108       120      Ultimate
            ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ________

    2010    3995.7      4635    4866.8    4964.1    5013.7    5038.8      5059    5074.1    5084.3    5089.4     5089.4 
    2011      3968    4682.3    4963.2    5062.5    5113.1    5138.7    5154.1    5169.6    5179.9    5185.1     5185.1 
    2012      4217    5060.4      5364    5508.9    5558.4    5586.2    5608.6    5625.4    5636.7    5642.3     5642.3 
    2013    4374.2    5205.3    5517.7    5661.1    5740.4    5780.6    5803.7    5821.1    5832.7    5838.6     5838.6 
    2014    4499.7    5309.6    5628.2    5785.8    5849.4    5878.7    5900.8    5918.5    5930.3    5936.3     5936.3 
    2015    4530.2    5300.4    5565.4    5715.7    5772.8    5804.1    5825.9    5843.4    5855.1      5861       5861 
    2016    4572.6    5304.2    5569.5    5714.3    5775.4    5806.7    5828.6    5846.1    5857.7    5863.6     5863.6 
    2017    4680.6    5523.1    5854.4    6000.9    6065.1      6098    6120.9    6139.3    6151.6    6157.7     6157.7 
    2018    4696.7    5495.1    5804.4    5949.6    6013.3    6045.9    6068.6    6086.8      6099    6105.1     6105.1 
    2019    4945.9    5819.2    6146.7    6300.5    6367.9    6402.4    6426.5    6445.8    6458.7    6465.2     6465.2

Вычислите общие резервы с помощью ultimateClaims.

IBNR = ultimateClaims(dTriangle) - dTriangle.LatestDiagonal;
IBNR = array2table(IBNR, 'RowNames', dTriangleTable.Properties.RowNames, 'VariableNames', {'IBNR'});
IBNR{'Total',1} = sum(IBNR{:,:});
disp(IBNR);

              IBNR 
             ______

    2010          0
    2011     5.1857
    2012      16.89
    2013     34.886
    2014     57.583
    2015     88.148
    2016     149.34
    2017     303.29
    2018     609.99
    2019     1519.3
    Total    2784.6

Загрузите цепочечную лестничную структуру

Чтобы вывести подходы передискретизации, Модель Временных рядов модели цепочечной лестничной структуры (CL) без распределений задана как:

$C_{i, j + 1} = f_{j} C_{i, j} + σ_{j} \sqrt{C_{i, j}} ϵ_{i, j + 1}$

Для отношения ссылки, выбранного выше, Wüthrich [1] и Мэк [2] показывают, что стандартное отклонение оценивается как:

${\hat{σ_{j}}}^{2} = \frac{1}{I - j - 1} \sum_{i = 0}^{I - j - 1} C_{i, j} {(\frac{C_{i, j + 1}}{C_{i, j}} - \hat{f_{j}})}^{2}$

${\hat{σ_{J - 1}}}^{2} = \min {\frac{{\hat{σ_{J - 2}}}^{4}}{{\hat{σ_{J - 3}}}^{3}}; {\hat{σ_{J - 3}}}^{2}; {\hat{σ_{J - 2}}}^{2}}$

estimatedStandardDeviations = currentSelectedFactors;
for i=1:width(estimatedStandardDeviations)-1
    estimatedStandardDeviations(1,i) = sqrt(sum(((factorsTable{1:end-i,i} - currentSelectedFactors(:,i)).^2).*dTriangleTable{1:end-i,i}) / (height(dTriangleTable)-i-1));
end
estimatedStandardDeviations(1,end) = sqrt(min([estimatedStandardDeviations(1,end-1)^4 / estimatedStandardDeviations(1,end-2)^2, estimatedStandardDeviations(1,end-2)^2, estimatedStandardDeviations(1,end-1)^2]));

disp(estimatedStandardDeviations);

  Columns 1 through 7

    0.8667    0.3699    0.2420    0.1310    0.0673    0.0361    0.0001

  Columns 8 through 9

    0.0001    0.0001

Чтобы применить метод начальной загрузки, необходимо найти соответствующие остаточные значения, которые допускают конструкцию эмпирического распределения $\hat{F_{n}}$ создать наблюдения начальной загрузки.

Рассмотрите следующие остаточные значения для $i + j \leq I, j \geq 1$ .

$\tilde{ϵ_{i, j}} = \frac{F_{i, j} - \hat{f_{j - 1}}}{σ_{j - 1} C_{i, j - 1}^{- 1 / 2}}$ где $F_{i, j} = \frac{C_{i, j}}{C_{i, j - 1}}$

После Wüthrich [1] можно масштабировать остаточные значения, чтобы увеличить их отклонение. Немасштабированные остаточные значения имеют тенденцию приводить к более легким хвостам в симулированном распределении.

Настройте остаточные значения, таким образом, что распределение начальной загрузки имеет настроенную функцию отклонения.

$Z_{i, j} = {(1 - \frac{C_{i, j - 1}}{\sum_{i = 0}^{I - j} C_{i, j - 1}})}^{- \frac{1}{2}} \frac{F_{i, j} - \hat{f_{j - 1}}}{\hat{σ_{j - 1}} C_{i, j - 1}^{- \frac{1}{2}}}$

Можно применить алгоритм начальной загрузки с помощью трех различных версий:

Непараметрическая начальная загрузка Эфрона для остаточных значений $\tilde{ϵ_{i, j}}$
Непараметрическая начальная загрузка Эфрона для масштабированных остаточных значений $Z_{i, j}$
Параметрическая начальная загрузка под предположением, что остаточные значения имеют стандартное Распределение Гаусса, которое является $Z_{i, j}^{*}$ передискретизируется от $N (0, 1)$

Этот пример использует вторую версию (непараметрическая начальная загрузка Эфрона для масштабированных остаточных значений), чтобы вычислить $Z_{i, j}$ .

% Create a copy of the factors table and modify it to create the
% residuals table
residuals = factorsTable.Variables;

colSums = sum(dTriangle.Claims,'omitnan');
for i=1:height(residuals)
    for j=1:width(residuals)   
        residuals(i,j) = (1 - (dTriangleTable{i,j}/colSums(j)))^-0.5 * (factorsTable{i,j} - currentSelectedFactors(1,j)) / (estimatedStandardDeviations(1,j)*(dTriangleTable{i,j}^-0.5));
    end
end

Остаточные значения ${Z_{i, j}, i + j \leq I}$ задайте распределение начальной загрузки.

residualsVector = residuals(:);
residualsVector(isnan(residualsVector)) = [];
histogram(residualsVector,10)
title('Scaled Residuals')
xlabel('Residual Value')
ylabel('Frequency')

Figure contains an axes object. The axes object with title Scaled Residuals contains an object of type histogram.

Чтобы симулировать новый резервный сценарий с методом начальной загрузки, выполните эти шаги.

Шаг 1: Передискретизируйте треугольник остаточных значений распределения начальной загрузки.

Передискретизируйте независимого политика и тождественно распределенный (i.i.d.) остаточные значения ${{Z^{*}}_{i, j}, i + j \leq I}$ от распределения начальной загрузки.

resampledResiduals = residuals;

rng('default');
rng(1);

for i = 1:height(residuals)-1
    for j = 1:width(residuals)-i+1
        resampledResiduals(i,j) = datasample(residuals(~isnan(residuals)), 1);
    end
end

disp(resampledResiduals);

  Columns 1 through 7

   -1.5522   -0.5120   -1.2668    0.7776   -1.3649    0.2799   -0.5495
   -0.4041   -1.5522   -0.4784   -1.2189   -0.7591    0.2610   -0.4784
   -0.4091   -1.3649   -0.5495   -1.6767   -0.8571   -1.3143   -0.4879
   -0.7591    1.3226    1.0791    0.2610    0.2861   -0.7591       NaN
    0.2799   -1.5522   -0.8571    0.3243   -0.4879       NaN       NaN
   -1.3143   -0.4784    0.5556   -1.2668       NaN       NaN       NaN
    1.9550         0    1.9550       NaN       NaN       NaN       NaN
    0.7693    0.5169       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN
    0.2799       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN
       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN

  Columns 8 through 9

   -1.3146   -1.5364
   -1.5522       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN
       NaN       NaN

Шаг 2: Вычислите загруженные требования.

Define $C_{i, 0}^{*} = C_{i, 0}$ и, для $j \geq 1$ assumeThat:

$C_{i, j}^{*} = \hat{f_{j - 1}} C_{i, j - 1}^{*} + \hat{σ_{j - 1}} \sqrt{C_{i, j - 1}^{*}} Z_{i, j}^{*}$

Это выражение представляет новые симулированные значения требования. Используя симулированные значения требования, можно создать новый developmentTriangle оценить новые резервные значения.

bootstrappedClaims = dTriangleTable.Variables;

for j = 2:width(bootstrappedClaims)
    bootstrappedClaims(:,j) = currentSelectedFactors(1,j-1).*bootstrappedClaims(:,j-1) + estimatedStandardDeviations(1,j-1).*sqrt(bootstrappedClaims(:,j-1)).*resampledResiduals(:,j-1);
end

stackedClaims = reshape(bootstrappedClaims',100,1);
stackedClaims = stackedClaims(~isnan(stackedClaims));
newData = data;
newData.values = stackedClaims;
bootstrappedDevelopmentTriangle = developmentTriangle(newData,'Claims','values');

Шаг 3: Выберите отношение ссылки, сопоставимое с моделью.

Взвешенное среднее объема является отношением ссылки, которое сопоставимо с моделью, используемой в этом подходе начальной загрузки.

bootstrappedAverageFactorsTable = linkRatioAverages(bootstrappedDevelopmentTriangle);
bootstrappedDevelopmentTriangle.SelectedLinkRatio = bootstrappedAverageFactorsTable{'Volume-weighted Average',:};
bootstrappedDevelopmentTriangle.TailFactor = 1;
bootstrappedSelectedFactorsTable = cdfSummary(bootstrappedDevelopmentTriangle);
disp(bootstrappedSelectedFactorsTable);

                                12-24      24-36     36-48      48-60      60-72     72-84      84-96     96-108     108-120    Ultimate
                               _______    _______    ______    _______    _______    ______    _______    _______    _______    ________

    Selected                    1.1751      1.054    1.0253     1.0099     1.0048    1.0036      1.003      1.002     1.001        1    
    CDF to Ultimate              1.301     1.1072    1.0504     1.0245     1.0145    1.0096      1.006      1.003     1.001        1    
    Percent of Total Claims    0.76861    0.90321     0.952    0.97609    0.98572    0.9905    0.99403    0.99701     0.999        1

Используйте fullTriangle отобразить полное соответствие треугольника разработки выбранному отношению ссылки.

bootstrappedFullTriangle = fullTriangle(bootstrappedDevelopmentTriangle);
disp(bootstrappedFullTriangle);

              12        24        36        48        60        72        84        96       108       120      Ultimate
            ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ______    ________

    2010    3995.7    4616.2    4863.2    4963.4    5023.7    5044.5    5064.1    5079.3    5089.5    5094.6     5094.6 
    2011      3968    4646.6      4869    4982.8    5024.8    5048.4    5068.1    5083.3    5093.4    5098.5     5098.5 
    2012      4217    4938.6    5181.1    5301.1    5341.9    5366.6    5383.3    5399.5    5410.2    5415.6     5415.6 
    2013    4374.2    5103.1    5425.3    5580.2    5642.5    5674.5    5693.8    5710.9    5722.3      5728       5728 
    2014    4499.7    5310.5    5567.5    5691.3    5755.4    5784.2    5804.8    5822.2    5833.8    5839.6     5839.6 
    2015    4530.2    5253.5    5536.3    5684.8    5733.2      5761    5781.5    5798.8    5810.4    5816.2     5816.2 
    2016    4572.6    5494.6    5803.9    5985.1    6044.2    6073.5    6095.1    6113.4    6125.6    6131.7     6131.7 
    2017    4680.6    5552.6    5879.4    6028.2    6087.7    6117.2      6139    6157.4    6169.7    6175.9     6175.9 
    2018    4696.7    5542.6      5842    5989.8    6048.9    6078.2    6099.9    6118.2    6130.4    6136.5     6136.5 
    2019    4945.9      5812      6126      6281      6343    6373.7    6396.4    6415.6    6428.4    6434.8     6434.8

Шаг 4: Вычислите общие резервы.

Вычислите общие резервы из симулированного developmentTriangle.

bootstrappedDevelopmentTriangleTable = view(bootstrappedDevelopmentTriangle);
bootstrappedIBNR = ultimateClaims(bootstrappedDevelopmentTriangle) - bootstrappedDevelopmentTriangle.LatestDiagonal;
bootstrappedIBNR = array2table(bootstrappedIBNR, 'RowNames', bootstrappedDevelopmentTriangleTable.Properties.RowNames, 'VariableNames', {'IBNR'});
bootstrappedIBNR{'Total',1} = sum(bootstrappedIBNR{:,:});
disp(bootstrappedIBNR);

              IBNR 
             ______

    2010          0
    2011     5.0881
    2012     16.188
    2013     34.197
    2014     55.485
    2015     83.048
    2016     146.61
    2017     296.45
    2018     593.94
    2019       1489
    Total      2720

Можно повторить предыдущие шаги много раз, чтобы сгенерировать полное, симулированный, распределение резервов. Симуляция производит резервы в течение каждого года и для общих резервов.

Симулируйте несколько загруженных сценариев

Создайте 1000 загруженные треугольники разработки и вычисляют понесенный, но не сообщил (IBNR) для каждого developmentTriangle.

n = 1000; 

simulatedIBNR = zeros(10,n);
for i = 1:n
    simulatedResiduals = residuals;
    
    for j = 1:height(residuals)-1
        for k = 1:width(residuals)-j+1
            simulatedResiduals(j,k) = datasample(residuals(~isnan(residuals)),1);
        end
    end
    
    simulatedClaims = dTriangleTable.Variables;

    for j = 2:width(simulatedClaims)
        simulatedClaims(:,j) = currentSelectedFactors(1,j-1).*simulatedClaims(:,j-1) + estimatedStandardDeviations(1,j-1).*sqrt(simulatedClaims(:,j-1)).*simulatedResiduals(:,j-1);
    end
        
    simulatedClaims = reshape(simulatedClaims',100,1);
    simulatedClaims = simulatedClaims(~isnan(simulatedClaims));
    simulatedData = data;
    simulatedData.ReportedClaims = simulatedClaims;
    simulatedDevelopmentTriangle = developmentTriangle(simulatedData);
    
    simulatedAverageFactorsTable = linkRatioAverages(simulatedDevelopmentTriangle);
    simulatedDevelopmentTriangle.SelectedLinkRatio = simulatedAverageFactorsTable{'Volume-weighted Average',:};
    simulatedDevelopmentTriangle.TailFactor = 1;
    simulatedLatestDiagonal = simulatedDevelopmentTriangle.LatestDiagonal;
    simulatedProjectedUltimateClaims = ultimateClaims(simulatedDevelopmentTriangle);

    simulatedIBNR(:,i) = simulatedProjectedUltimateClaims - simulatedLatestDiagonal;
    
end

simulatedIBNR(end+1,:) = sum(simulatedIBNR);

Выберите год, чтобы построить распределение IBNR, вычислить среднее значение и сравнить то среднее значение с расчетным детерминированным значением.

originYear =5;
гистограмма (simulatedIBNR (originYear+1, :));
содержание on;
график (среднее значение (simulatedIBNR (originYear+1, :)), 0,'O','LineWidth',2)
график (IBNR {originYear+1,1}, 0,'X','LineWidth',2);
легенда'Simulated IBNR',['Simulated mean : ' num2str (вокруг (среднее значение (simulatedIBNR (originYear+1, :)), 2))], ['Deterministic IBNR : ' num2str (вокруг (IBNR {originYear+1,1}, 2))]);
содержание off;

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type histogram, line. These objects represent Simulated IBNR, Simulated mean : 88.91, Deterministic IBNR : 88.15.

Постройте гистограмму общих количеств для IBNRs, симулированных средних значений и детерминированных значений.

histogram(simulatedIBNR(11,:));
hold on;
plot(mean(simulatedIBNR(11,:)),0,'O','LineWidth',2)
plot(IBNR{11,1},0,'X','LineWidth',2);
legend('Simulated Total IBNR',['Simulated mean : ' num2str(round(mean(simulatedIBNR(11,:)),2))],['Deterministic Total IBNR : ' num2str(round(IBNR{11,1},2))]);
hold off;

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type histogram, line. These objects represent Simulated Total IBNR, Simulated mean : 2785.98, Deterministic Total IBNR : 2784.57.

Ссылки

Wüthrich, Марио и Майкл Мерц. Стохастические методы резервирования требований в страховке. Хобокен, NJ: Вайли, 2008
Макинтош, Томас. "Вычисление без распределений стандартной погрешности цепочечных лестничных резервных оценок". Бюллетень Astin. Издание 23, № 2, 1993.

Документация

Загрузитесь Используя цепочечный лестничный метод

Загрузка данных

Создайте `developmentTriangle`

Анализируйте `developmentTriangle`

Загрузите цепочечную лестничную структуру

Шаг 1: Передискретизируйте треугольник остаточных значений распределения начальной загрузки.

Шаг 2: Вычислите загруженные требования.

Шаг 3: Выберите отношение ссылки, сопоставимое с моделью.

Шаг 4: Вычислите общие резервы.

Симулируйте несколько загруженных сценариев

Ссылки

Смотрите также

Похожие темы

Документация Risk Management Toolbox

Поддержка

Документация

Загрузитесь Используя цепочечный лестничный метод

Загрузка данных

Создайте developmentTriangle

Анализируйте developmentTriangle

Загрузите цепочечную лестничную структуру

Шаг 1: Передискретизируйте треугольник остаточных значений распределения начальной загрузки.

Шаг 2: Вычислите загруженные требования.

Шаг 3: Выберите отношение ссылки, сопоставимое с моделью.

Шаг 4: Вычислите общие резервы.

Симулируйте несколько загруженных сценариев

Ссылки

Смотрите также

Похожие темы

Документация Risk Management Toolbox

Поддержка

Создайте `developmentTriangle`

Анализируйте `developmentTriangle`