Приложения LMI

Нахождение решения x системы LMI

A (x) < 0

(1)

называется feasibility problem. Минимизация выпуклой цели при ограничениях LMI является также выпуклой проблемой. В частности, линейная объективная проблема минимизации:

Минимизируйте c^Tx подвергают

A (x) < 0

(2)

играет важную роль в основанном на LMI проекте. Наконец, обобщенная проблема минимизации собственного значения

Минимизируйте λ, удовлетворяющий

\begin{array}{l} A (x) < λ B (x) \\ B (x) > 0 \\ C (x) > 0 \end{array}

(3)

квазивыпукло и может быть решен подобными методами. Это должно свое имя к факту, который связан с самым большим обобщенным собственным значением карандаша ((x), B (x)).

Много проблем управления и технических требований проекта имеют формулировки LMI [9]. Это особенно верно для находящегося в Lyapunov анализа и проектирования, но также и для оптимального управления LQG, H^∞ управление, управление ковариацией, и т.д. Дальнейшие приложения LMIs возникают по оценке, идентификации, оптимальному проекту, проектированию конструкций [6], [7], матричным проблемам масштабирования, и так далее. Основная сила формулировок LMI является способностью объединить различные конструктивные ограничения или цели численно послушным способом.

Неисчерпывающий список проблем, решенных методами LMI, включает следующее:

Устойчивая устойчивость систем с неопределенностью LTI (µ-analysis) ([24], [21], [27])
Устойчивая устойчивость перед лицом ограниченной сектором нелинейности (критерий Попова) ([22], [28], [13], [16])
Квадратичная устойчивость дифференциальных включений ([15], [8])
Устойчивость Ляпунова зависимых параметром систем ([12])
Вход/состояние/выходные свойства систем LTI (инвариантные эллипсоиды, уровень затухания, и т.д.) ([9])
Проект обратной связи состояния мультимодели/мультиобъективный ([4], [17], [3], [9], [10])
Устойчивое размещение полюса
Оптимальное управление LQG ([9])
Устойчивый H^∞ управление ([11], [14])
Многоцелевой H^∞ синтез ([18], [23], [10], [18])
Проект устойчивых запланированных на усиление контроллеров ([5], [2])
Управление стохастических систем ([9])
Взвешенные проблемы интерполяции ([9])

Чтобы намекнуть на принципы, лежащие в основе проекта LMI, давайте рассмотрим формулировки LMI нескольких типичных целей проекта.

Устойчивость

Устойчивость динамической системы

$\dot{x} = A x$

эквивалентно выполнимости следующей проблемы:

Найдите P = P^T таким образом, что A^T P + P <0, P> I.

Это может быть обобщено к линейным дифференциальным включениям (LDI)

$\dot{x} = A (t) x$

где (t) варьируется по выпуклому конверту набора моделей LTI:

$A (t) \in C o {A_{1}, \dots, A_{n}} = {\sum_{i = 1}^{n} a_{i} A_{i} : a_{i} \geq 0, \sum_{i = 1}^{N} a_{i} = 1} .$

Достаточное условие для асимптотической устойчивости этого LDI является выполнимостью

Найдите P = P^T таким образом, что $A_{i}^{T} P + P A_{i} < 0, P > I$ .

Усиление RMS

Усиление случайных средних квадратичных (RMS) устойчивой системы LTI

${\begin{matrix} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{matrix}$

самое большое усиление ввода/вывода по всем ограниченным входным параметрам u (t). Это усиление является глобальным минимумом следующей линейной объективной проблемы минимизации [1], [25], [26].

Минимизируйте γ более чем X = X^T и γ, таким образом, что

$(\begin{matrix} A^{T} X + X A & X B & C^{T} \\ B^{T} X & - γ I & D^{T} \\ C & D & - γ I \end{matrix}) < 0$

$X > 0.$

Эффективность LQG

Для устойчивой системы LTI

$G {\begin{matrix} \dot{x} = A x + B w \\ y = C x \end{matrix}$

где w является воздействием белого шума с модульной ковариацией, эффективность LQG или H2 ∥G∥2 задана

$\begin{matrix} {‖ G ‖}_{2}^{2} : = \lim_{T \to \infty} E {\frac{1}{T} \int_{0}^{T} y^{T} (t) y (t) d t} \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} G^{H} (j ω) G (j ω) d ω . \end{matrix}$

Этому можно показать это

${‖ G ‖}_{2}^{2} = \inf {Trace ({CPC}^{T}) : A P + P A^{T} + B B^{T} < 0} .$

Следовательно ${‖ G ‖}_{2}^{2}$ глобальный минимум проблемы LMI. Минимизируйте Трассировку (Q) по симметричным матрицам P, Q, таким образом что

$A P + P A^{T} + B B^{T} < 0$

$(\begin{matrix} Q & C P \\ P C^{T} & P \end{matrix}) > 0.$

Снова это - линейная объективная проблема минимизации, поскольку объективная Трассировка (Q) линейна в переменных решения (свободные входы P, Q).

Документация