LMI Lab является высокоэффективным пакетом для того, чтобы решить общие задачи LMI. Это смешивает простые инструменты для спецификации и манипуляции LMIs с мощными решателями LMI для трех типовых проблем LMI. Благодаря ориентированному на структуру представлению LMIs различные ограничения LMI могут быть описаны в их естественной форме блочной матрицы. Точно так же переменные оптимизации заданы непосредственно как матричные переменные с некоторой данной структурой. Если проблема LMI задана, она может быть решена численно путем вызова соответствующего решателя LMI. Эти три решателя feasp, mincx, и gevp составьте вычислительный механизм фрагмента LMI программного обеспечения Robust Control Toolbox™. Их высокая производительность достигается посредством реализации C-MEX и путем использования в своих интересах конкретной структуры каждого LMI.
LMI Lab предлагает инструменты
Задайте системы LMI или символически с Редактором LMI или инкрементно с lmivar и lmiterm команды
Получите информацию о существующих системах LMIs
Измените существующие системы LMIs
Решите три типовых задачи LMI (проблема выполнимости, линейная объективная минимизация и обобщенная минимизация собственного значения)
Подтвердите результаты
Эта глава дает учебное введение в LMI Lab, а также более усовершенствованные советы для того, чтобы максимально использовать ее потенциал.
Любое линейное матричное неравенство может быть описано в канонической форме
L (x) = L0 + x1L1 +... + xNLN <0
где
L0, L1..., LN дают симметричные матрицы
x = (x1..., xN)T ∊ RN вектор из скалярных переменных, которые будут определены. Мы обращаемся к x1..., xN как переменные решения. Имена “переменные проекта” и “переменные оптимизации” также найдены в литературе.
Даже при том, что это каноническое выражение является типовым, LMIs редко возникают в этой форме в приложениях управления. Рассмотрите, например, неравенство Ляпунова
| (1) |
где
и переменная
симметрическая матрица. Здесь переменные решения являются свободными входами x1, x2, x3 X и каноническая форма этого LMI чтения
| (2) |
Очевидно это выражение менее интуитивно и прозрачно, чем уравнение 1. Кроме того, количество матриц, вовлеченных в уравнение 2, растет примерно как n2 /2 если n является размером матрицы A. Следовательно, каноническая форма очень неэффективна с точки зрения устройства хранения данных, поскольку она требует хранению oN2 /2) матрицы размера n, когда одна n на n матрица А была бы достаточна. Наконец, работа с канонической формой также вредна для КПД решателей LMI. По этим различным причинам LMI Lab использует структурированное представление LMIs. Например, выражение ATX + XA в уравнении 1 неравенства Ляпунова явным образом описан в зависимости от матричной переменной X, и только матрица A хранится.
В общем случае LMIs принимают форму блочной матрицы, где каждый блок является аффинной комбинацией матричных переменных. Как довольно типичный рисунок, считайте следующий LMI чертившим от H∞ теория
| (3) |
где A, B, C, D и N дают матрицы, и переменными задачи является X = XT ∊ Rn×n и γ ∊ R. Мы используем следующую терминологию, чтобы описать такой LMIs:
N называется внешним фактором и блочной матрицей
называется внутренним фактором. Внешний фактор не должен быть квадратным и часто отсутствует.
X и γ матричные переменные проблемы. Обратите внимание на то, что скаляры рассматриваются как матрицы 1 на 1.
Внутренним фактором L (X, γ) является симметричная блочная матрица, ее блочная структура, охарактеризовавшая размерами ее диагональных блоков. Симметрией, L (X, γ) полностью задан блоками на или выше диагонали.
Каждый блок L (X, γ) является аффинным выражением в матричных переменных X и γ. Это выражение может быть разломано на сумма элементарных терминов. Например, блок (1,1) содержит два элементарных термина: ATX и XA.
Условия являются или постоянными или переменными. Постоянные термины являются зафиксированными матрицами как B и D выше. Переменные термины включают одну из матричных переменных, как XA, XCT, и –γI выше.
LMI (уравнение 3) задан списком терминов в каждом блоке, как любой LMI независимо от его сложности.
Что касается матричных переменных X и γ, они характеризуются их размерностями и структурой. Общие структуры включают прямоугольный неструктурированный, симметричный, скошено-симметричный, и скалярный. С более сложными структурами иногда сталкиваются в проблемах управления. Например, матричная переменная X могла быть ограничена к диагональной блоком структуре:
Другая возможность является симметричной структурой Теплица:
При подведении итогов, структурировал проблемы LMI, заданы путем объявления матричных переменных и описания термина содержимое каждой LMI. Это ориентированное на термин описание систематично и точно отражает определенную структуру ограничений LMI. Нет никакого встроенного ограничения на количество LMIs, который можно задать или на количестве блоков и терминов в любой данной LMI. Системы LMI произвольной сложности могут поэтому, быть заданными в LMI Lab.
LMI Lab предлагает инструменты, чтобы задать, управлять, и численно решить LMIs. Его основная цель к
Допускайте прямое описание LMIs в их естественной форме блочной матрицы
Предоставьте быстрый доступ решателям LMI (коды оптимизации)
Упростите валидацию результата и модификацию задач
Ориентированное на структуру описание данной системы LMI хранится, как один вектор вызвал внутреннее представление и в общем обозначенный LMISYS в продолжении. Этот вектор кодирует структуру и размерности LMIs и матричных переменных, описания всех терминов LMI и связанных числовых данных. Нужно подчеркнуть, что вы не должны пытаться считать или изучить содержимое LMISYS поскольку все манипуляции, включающие это внутреннее представление, могут быть выполнены прозрачным способом с инструментами LMI-Lab.
LMI Lab поддерживает следующие функциональности:
Системы LMI могут быть или заданы как выражения символьной матрицы с интерактивным графическим интерфейсом пользователя lmiedit, или собранный инкрементно с этими двумя командами lmivar и lmiterm. Право преимущественной покупки более интуитивно и прозрачно, в то время как вторая опция более мощна и гибка.
Интерактивная функция lmiinfo отвечают качественные запросы о системах LMI, созданных с lmiedit или lmivar и lmiterm. Можно также использовать lmiedit визуализировать систему LMI, созданную конкретной последовательностью lmivar/lmiterm команды.
Решатели LMI общего назначения обеспечиваются для трех типовых проблем LMI, заданных в Приложениях LMI. Эти решатели могут обработать очень общие системы LMI и матричные переменные структуры. Они возвращают выполнимый или оптимальный вектор из переменных решения x*. Соответствующие значения из матричных переменных даны функцией dec2mat.
Решение x* произведенный решателями LMI легко подтверждено с функциями evallmi и showlmi. Это позволяет быструю проверку и/или анализ результатов. С evallmi, все переменные термины в системе LMI оценены для значения x* переменных решения. Левые и правые стороны каждого LMI затем становятся постоянными матрицами, которые могут быть отображены с showlmi.
Существующая система LMIs может быть изменена двумя способами:
LMI может быть удален из системы с dellmi.
Переменная матрицы A X может быть удалена с помощью delmvar. Это можно также инстанцировать, то есть, установить в некоторое данное матричное значение. Эта операция выполняется setmvar и позволяет, например, фиксировать некоторые переменные и решать задачу LMI относительно остающихся единиц.