Корреляция и ковариация

Справочная информация

Последовательность взаимной корреляции для двух широких смыслов стационарный вероятностный процесс, x (n) и y (n)

$R_{x y} (m) = E {x (n + m) y^{*} (n)},$

где звездочка обозначает сопряженное комплексное число, и ожидание по ансамблю реализации, которая составляет вероятностные процессы.

Обратите внимание на то, что взаимная корреляция не является коммутативной, но Эрмитово (сопряженное) свойство симметрии содержит таким образом что:

$R_{x y} (m) = R_{y x}^{*} (- m) .$

Перекрестная ковариация между x (n) и y (n):

$C_{x y} (m) = E {(x (n + m) - μ_{x}) {(y (n) - μ_{y})}^{*}} = R_{x y} (m) - μ_{x} μ_{y}^{*} .$

Для нулевого среднего широкого смысла стационарные вероятностные процессы, взаимная корреляция и перекрестная ковариация эквивалентны.

На практике необходимо оценить эти последовательности, потому что возможно получить доступ к только конечному сегменту вероятностных процессов бесконечной длины. Далее, часто необходимо оценить моменты ансамбля на основе средних во времени, потому что только одна реализация вероятностных процессов доступна. Общая оценка на основе выборок N x (n) и y (n) является детерминированной последовательностью взаимной корреляции (также вызвал функцию неоднозначности времени),

${\hat{R}}_{x y} (m) = {\begin{array}{l} \sum_{n = 0}^{N - m - 1} x (n + m) y^{*} (n), & m \geq 0, \\ {\hat{R}}_{y x}^{*} (- m), & m < 0. \end{array}$

где мы принимаем для этого обсуждения, что x (n) и y (n) индексируется от 0 до N – 1, и ${\hat{R}}_{x y} (m)$ от – (N – 1) к N – 1.

Используя `xcorr` и `xcov` Функции

Функции xcorr и xcov оцените взаимную корреляцию и последовательности перекрестной ковариации вероятностных процессов. Они также обрабатывают автокорреляцию и автоковариацию как особые случаи. xcorr функция оценивает сумму, показанную выше с эффективным основанным на БПФ алгоритмом, учитывая входные параметры x (n) и y (n), сохраненный в длине N векторы x и y. Его операция эквивалентна свертке с одной из этих двух подпоследовательностей, инвертированных вовремя.

Например:

x = [1 1 1 1 1]';
y = x;
xyc = xcorr(x,y)

Заметьте, что получившаяся длина последовательности является той меньше, чем дважды длина входной последовательности. Таким образом Энным элементом является корреляция в задержке 0. Также заметьте треугольный импульс выхода, который заканчивается при свертке к двум квадратным импульсам.

xcov функционируйте оценочная автоковариация и последовательности перекрестной ковариации. Эта функция имеет те же опции и оценивает ту же сумму как xcorr, но сначала удаляет средние значения x и y.

Смещение и нормализация

Оценка количества смещается, если его ожидаемое значение не равно количеству, это оценивает. Ожидаемое значение выхода xcorr

$E {{\hat{R}}_{x y} (m)} = (N - | m |) R_{x y} (m) .$

xcorr обеспечивает объективную оценку, делящуюся на N – |m |, когда вы задаете 'unbiased' отметьте после входных последовательностей.

xcorr(x,y,'unbiased')

Несмотря на то, что эта оценка является несмещенной, конечные точки (рядом – (N – 1) и N – 1) страдают от большого отклонения потому что xcorr вычисляет их использующий только несколько точек данных. Возможный компромисс должен просто разделиться на N с помощью 'biased' флаг:

xcorr(x,y,'biased')

С этой схемой только выборка корреляции в нулевой задержке (N th выходной элемент) является несмещенной. Эта оценка часто более желательна, чем несмещенная, потому что это избегает случайных больших изменений в конечных точках последовательности корреляции.

xcorr предоставляет еще одну схему нормализации. Синтаксис

xcorr(x,y,'coeff')

делит выход на norm(x)*norm(y) так, чтобы для автокорреляций выборка в нулевой задержке равнялась 1.

Несколько каналов

Для многоканального сигнала, xcorr и xcov оцените автокорреляцию и взаимную корреляцию и последовательности ковариации для всех каналов целиком. Если S M-by-N матрица сигнала, представляющая каналы N в его столбцах, xcorr(S) возвращается (2M – 1)-by-N² матрица с автокорреляциями и взаимными корреляциями каналов S в его N² столбцы. Если S сигнал с тремя каналами

S = [s1 s2 s3]

затем результат xcorr(S) организован как

R = [Rs1s1 Rs1s2 Rs1s3 Rs2s1 Rs2s2 Rs2s3 Rs3s1 Rs3s2 Rs3s3]

Две связанных функции, cov и corrcoef, доступны в стандартном MATLAB^® среда. Они оценивают ковариацию и нормированную ковариацию соответственно между различными каналами в задержке 0 и располагают их в квадратной матрице.

Документация