Найдите последовательное расширение Пюизе

Найдите последовательные расширения Пюизе одномерных и многомерных выражений.

Найдите последовательное расширение Пюизе этого выражения в точке x = 0.

syms x
series(1/sin(x), x)

ans =
x/6 + 1/x + (7*x^3)/360

Найдите последовательное расширение Пюизе этого многомерного выражения. Если вы не задаете переменную расширения, series использует переменную по умолчанию, определенную symvar(f,1).

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
symvar(f, 1)
series(f)

ans =
t
 
ans =
sin(s)/t + (7*t^3*sin(s))/360 + (t*sin(s))/6

Чтобы использовать другую переменную расширения, задайте его явным образом.

syms s t
f = sin(s)/sin(t);
series(f, s)

ans =
s^5/(120*sin(t)) - s^3/(6*sin(t)) + s/sin(t)

Задайте точку расширения

Найдите последовательное расширение Пюизе psi(x) вокруг x = Inf. Точка расширения по умолчанию 0. Чтобы задать различную точку расширения, используйте ExpansionPoint пара "имя-значение".

series(psi(x), x, 'ExpansionPoint', Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

В качестве альтернативы задайте точку расширения в качестве третьего аргумента series.

syms x
series(psi(x), x, Inf)

ans =
log(x) - 1/(2*x) - 1/(12*x^2) + 1/(120*x^4)

Постройте последовательное приближение Пюизе

Найдите последовательное расширение Пюизе exp(x)/x использование различных порядков усечения.

Найдите последовательное расширение до порядка 6 усечения по умолчанию.

syms x
f = exp(x)/x;
s6 = series(f, x)

s6 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+1$$

Используйте Order управлять порядком усечения. Например, аппроксимируйте то же выражение до порядков 7 и 8.

s7 = series(f, x, 'Order', 7)

s7 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+1$$

s8 = series(f, x, 'Order', 8)

s8 = 
$$\frac{x}{2}+\frac{1}{x}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^4}{120}+\frac{x^5}{720}+\frac{x^6}{5040}+1$$

Постройте исходное выражение f и его приближения s6, s7, и s8. Отметьте, как точность приближения зависит от порядка усечения.

fplot([s6 s7 s8 f])
legend('approximation up to O(x^6)','approximation up to O(x^7)',...
            'approximation up to O(x^8)','exp(x)/x','Location', 'Best')
title('Puiseux Series Expansion')

Задайте направление расширения

Найдите последовательные приближения Пюизе с помощью Direction аргумент. Этот аргумент позволяет вам изменить область сходимости, которая является областью где series попытки найти сходящееся последовательное расширение Пюизе, аппроксимирующее исходное выражение.

Найдите последовательное приближение Пюизе этого выражения. По умолчанию, series находит приближение, которое допустимо в маленьком открытом кругу в комплексной плоскости вокруг точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120

Найдите последовательное приближение Пюизе того же выражения, которое допустимо в маленьком интервале слева от точки расширения. Затем найдите приближение, которое допустимо в маленьком интервале справа от точки расширения.

syms x
series(sin(sqrt(-x)), x)
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'left')
series(sin(sqrt(-x)), x, 'Direction', 'right')

ans =
(-x)^(1/2) - (-x)^(3/2)/6 + (-x)^(5/2)/120
 
ans =
- x^(1/2)*1i - (x^(3/2)*1i)/6 - (x^(5/2)*1i)/120
 
ans =
x^(1/2)*1i + (x^(3/2)*1i)/6 + (x^(5/2)*1i)/120

Попытайтесь вычислить последовательное приближение Пюизе этого выражения. По умолчанию, series попытки найти приближение, которое допустимо в комплексной плоскости вокруг точки расширения. Для этого выражения не существует такое приближение.

series(real(sin(x)), x)

Error using sym/series>scalarSeries (line 90)
Unable to compute series expansion.

Однако приближение существует вдоль вещественной оси обеим сторонам x = 0.

series(real(sin(x)), x, 'Direction', 'realAxis')

ans =
x^5/120 - x^3/6 + x