Документация

Масштабирование частотного диапазона

Основной компонент TQWT масштабируется в частотном диапазоне:

Когда вы масштабируете x сигнала (n), который производится на уровне f _s в частотном диапазоне, вы изменяете частоту дискретизации выходного сигнала y (n). Если X (ω) и Y (ω) является преобразованиями Фурье дискретного времени x (n) и y (n), соответственно, и 0 <α <1, lowpass, масштабирующийся α (LPS α) в частотном диапазоне, задан как

Для масштабирования lowpass выходной сигнал производится в α·f _s. Если 0 <β ≤ 1, highpass масштабирование β (HPS β) задан как

Для масштабирования highpass выходной сигнал производится в β·f _s. Подобные определения существуют для случаев α> 1 и β> 1.

Алгоритм TQWT

Алгоритм TQWT реализован как двухканальный набор фильтров. В аналитическом направлении поддиапазон lowpass v ₀ (n) имеет частоту дискретизации α·f _s и highpass поддиапазон, v ₁ (n) имеет частоту дискретизации β·f _s. Мы говорим, что набор фильтров сверхдискретизирован на коэффициент α + β.

Lowpass и фильтры highpass, H ₀ (ω) и H ₁ (ω) соответственно, удовлетворяют

и

В алгоритме TQWT аналитический набор фильтров применяется итеративно к выходу lowpass предыдущей итерации. Частотой дискретизации highpass выход в k th итерация является β · α^k-1· f _s, где f _s является частотой дискретизации исходного входного сигнала. Чтобы гарантировать совершенную реконструкцию и хорошо локализованный (вовремя) вейвлеты, алгоритм TQWT требует, чтобы α и β удовлетворили α + β> 1.

Сокращение и Q-фактор

В TQWT, $$0<\alpha <1$$ и $$0<\beta \le 1$$. Как указано выше частота дискретизации в k-ом ieration $$\beta \cdot {\alpha }^{k-1}\cdot f_{\text{s}}$$, где $$f_{\text{s}}$$ исходная частота дискретизации. В то время как итерации продолжаются, частота дискретизации сходится к $$\frac{\beta }{1-\alpha }\cdot f_{\text{s}}$$ Количество $$r=\frac{\beta }{1-\alpha }$$ сокращение TQWT. Поддержка частотной характеристики k-ой итерации фильтра highpass, $$H_1^k(\omega )$$, находится в интервале $$[(1-\beta ){\alpha }^{k-1}\pi ,{\alpha }^{k-1}\pi ]$$. Центральная частота $$f_{\text{c}}$$ из highpass фильтр приблизительно равен среднему значению частот в концах интервала: $$f_{\text{c}}={\alpha }^k\frac{2-\beta }{4\alpha }\cdot f_{\text{s}}$$. Полоса пропускания $$BW$$ длина интервала: $$BW=\frac{1}{4}\beta \cdot {\alpha }^{k-1}\cdot f_{\text{s}}$$. Q-фактор $$Q=\frac{f_{\text{c}}}{BW}=\frac{2-\beta }{\beta }$$.

Проиллюстрировать, как сокращение и Q-фактор влияют на полосы перехода lowpass и фильтров highpass, $$H_0(\omega )$$ и $$H_1(\omega )$$ соответственно, используйте функцию помощника helperPlotLowAndHighpassFilters построить частотные характеристики фильтров для различных значений сокращения и Q-фактора. Исходный код для функции помощника находится в той же директории как этот файл в качестве примера. Функция помощника использует фильтры на основе частотной характеристики Daubechies: $$\theta (\omega )=\frac{1}{2}(1+\cos \omega )\sqrt{2-\cos \omega }$$ для $$|\omega |\le \pi$$. Для получения дополнительной информации см. [1].

qualityFactor = 2;
сокращение = 3;
helperPlotLowAndHighpassFilters (qualityFactor, сокращение)

Как реализовано, tqwt, itqwt, и tqwtmra функции используют фиксированное сокращение 3. Чтобы видеть, как Q-фактор влияет на вейвлет, используйте функцию помощника helperPlotQfactorWavelet построить вейвлет во временном интервале для различных целочисленных значений Q-фактора. Заметьте, что для фиксированного Q-фактора, уменьшения поддержки вейвлета, когда шкала становится более прекрасной. Для анализа колебательных сигналов более высокие Q-факторы лучше.

qf = 1;
масштабируйтесь = 8;
helperPlotQfactorWavelet (QF, шкала)

     9

Пример: MRA звукового сигнала

Загрузите и постройте запись женщины-спикера, говорящей, что "Я видел овец". Частота дискретизации составляет 22 050 Гц.

load wavsheep
plot(tsh,sheep)
axis tight
title('"I saw the sheep."')
xlabel("Time (sec)")
ylabel("Amplitude")

Получите TQWT использование добротности по умолчанию 1.

[wt1,info1] = tqwt(sheep);

Выход info1 массив структур, который содержит информацию о TQWT. Поле CenterFrequencies содержит нормированные центральные частоты (циклы/выборка) поддиапазонов вейвлета. Поле Bandwidths содержит аппроксимированные полосы пропускания поддиапазонов вейвлета в нормированной частоте. Для каждого поддиапазона подтвердите, что отношение центральной частоты к полосе пропускания равно добротности.

ratios = info1.CenterFrequencies./info1.Bandwidths;
[min(ratios) max(ratios)]

ans = 1×2

     1     1

Отображение $$\beta$$, highpass масштабный коэффициент, и $$\alpha$$, масштабный коэффициент lowpass. Как реализовано, функции tqwt, itqwt, и tqwtmra используйте фактор сокращения $$r=3$$. Подтвердите, что масштабные коэффициенты удовлетворяют отношению $$r=\frac{\beta }{1-\alpha }$$.

[info1.Beta info1.Alpha]

ans = 1×2

    1.0000    0.6667

r = info1.Beta/(1-info1.Alpha)

r = 3.0000

Идентифицируйте поддиапазоны, которые содержат по крайней мере 15% полной энергии. Обратите внимание на то, что последний элемент wt1 содержит коэффициенты поддиапазона lowpass. Подтвердите, что сумма процентов равняется 100.

EnergyBySubband = cellfun(@(x)norm(x,2)^2,wt1)./norm(sheep,2)^2*100;
idx15 = EnergyBySubband >= 15;
bar(EnergyBySubband)
title("Percent Energy By Subband")
xlabel("Subband")
ylabel("Percent Energy")

sum(EnergyBySubband)

ans = 100.0000

Получите анализ мультиразрешения и суммируйте те компоненты MRA, соответствующие ранее идентифицированным поддиапазонам.

mra = tqwtmra(wt1,length(sheep));
ts = sum(mra(idx15,:));
plot(tsh,[sheep ts'])
axis tight
legend("Signal","Large Energy Components")
xlabel("Time (sec)")
ylabel("Amplitude")

Постройте первый поддиапазон. Заметьте, что этот поддиапазон содержит содержимое частоты слов, "видел" и "овцы".

mra = tqwtmra(wt1,length(sheep));
str = sprintf("Center Frq = %.2f Hz\nBandwidth = %.2f Hz",...
    fs*info1.CenterFrequencies(1),fs*info1.Bandwidths(1));
plot(tsh,sheep)
hold on
plot(tsh,mra(1,:));
hold off
axis tight
title(str)
legend("Signal","Subband 1")
xlabel("Time (sec)")
ylabel("Amplitude")

Чтобы получить более прекрасный вид первого поддиапазона, получите второй TQWT сигнала с помощью добротности 3. Смотрите центральные частоты, в герц, первых пяти поддиапазонов.

[wt3,info3] = tqwt(sheep,QualityFactor=3);
fs*info3.CenterFrequencies(1:5)

ans = 1×5
103 ×

    8.2688    6.8906    5.7422    4.7852    3.9876

Центральные частоты первых трех поддиапазонов выше, чем центральная частота первого поддиапазона первого TQWT. Получите MRA сигнала с помощью добротности 3 и постройте первые три компонента MRA. Сравните содержимое частоты слов "видело" и "овцы" в этих трех поддиапазонах. Большая часть энергии в первом поддиапазоне прибывает из слова, "видел".

mra = tqwtmra(wt3,length(sheep),QualityFactor=3);
for k=1:3
    str = sprintf("Center Frq = %.2f Hz",fs*info3.CenterFrequencies(k));
    subplot(3,1,k)
    plot(tsh,mra(k,:))
    axis tight
    title(str)
    ylabel("Amplitude")
end
xlabel("Time (sec)")

Постройте процент полной энергии, которую содержит каждый поддиапазон, когда добротность равняется 3. Подтвердите, что сумма процентов равняется 100.

EnergyBySubband = cellfun(@(x)norm(x,2)^2,wt3)./norm(sheep,2)^2*100;
figure
bar(EnergyBySubband)
title("Percent Energy By Subband")
xlabel("Subband")
ylabel("Percent Energy")

sum(EnergyBySubband)

ans = 100.0000