Документация

Функции MATLAB для полиномиальных моделей

Функции ^{Two MATLAB®} могут смоделировать ваши данные с многочленом.

Этот пример показывает как данным модели с многочленом.

Измерьте количество y в нескольких значениях времени t.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3];
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25];
plot(t,y,'o')
title('Plot of y Versus t')

Можно попытаться моделировать этот данные с помощью полиномиальной функции второй степени,

Неизвестные коэффициенты, и, вычисляются путем минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели (соответствие наименьших квадратов).

Используйте polyfit, чтобы найти полиномиальные коэффициенты.

p = polyfit(t,y,2)

p = 1×3

   -0.2942    1.0231    0.4981

MATLAB вычисляет полиномиальные коэффициенты в убывающих степенях.

Полиномиальная модель второй степени данных дана уравнением

Оцените многочлен в однородно расположенные с интервалами времена, t2. Затем отобразите на графике исходные данные и модель на том же графике.

t2 = 0:0.1:2.8;
y2 = polyval(p,t2);
figure
plot(t,y,'o',t2,y2)
title('Plot of Data (Points) and Model (Line)')

Оцените модель во временном векторе данных

y2 = polyval(p,t);

Вычислите невязки.

res = y - y2;

Постройте график невязок.

figure, plot(t,res,'+')
title('Plot of the Residuals')

Заметьте, что соответствие второй степени примерно следует за основной формой данных, но не получает плавную кривую, на которой данные, кажется, лежит. В невязках, кажется, существует шаблон, который указывает, что различная сила модели необходима. Многочлен пятого градуса (показанный затем) делает лучшее задание следующих колебания данных.

Повторите осуществление, на этот раз с помощью многочлена пятого градуса от polyfit.

p5 = polyfit(t,y,5)

p5 = 1×6

    0.7303   -3.5892    5.4281   -2.5175    0.5910    0.6000

Оцените многочлен в t2 и постройте график соответствия сверху данных в новом окне фигуры.

y3 = polyval(p5,t2);   
figure
plot(t,y,'o',t2,y3)
title('Fifth-Degree Polynomial Fit')

Линейная модель с неполиномиальными условиями

Этот пример показывает, как соответствовать данным линейной моделью, содержащей неполиномиальные условия.

Когда полиномиальная функция не производит удовлетворительную модель ваших данных, можно попытаться использовать линейную модель с неполиномиальными условиями. Например, рассмотрите следующую функцию, которая линейна в параметрах, и, но нелинейна в данных:

Можно вычислить неизвестные коэффициенты, и путем построения и решения набора одновременных уравнений и решения для параметров. Следующий синтаксис выполняет это путем формирования матрицы дизайна, где каждый столбец представляет переменную, используемую, чтобы предсказать ответ (термин в модели), и каждая строка соответствует одному наблюдению за теми переменными.

Введите t и y как векторы - столбцы.

t = [0 0.3 0.8 1.1 1.6 2.3]';
y = [0.6 0.67 1.01 1.35 1.47 1.25]';

Сформируйте матрицу дизайна.

X = [ones(size(t))  exp(-t)  t.*exp(-t)];

Вычислите образцовые коэффициенты.

a = X\y

a = 3×1

    1.3983
   -0.8860
    0.3085

Поэтому моделью данных дают

Теперь оцените модель в расположенных с равными интервалами точках и постройте график модели с исходными данными.

T = (0:0.1:2.5)';
Y = [ones(size(T))  exp(-T)  T.*exp(-T)]*a;
plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on
title('Plot of Model and Original Data')

Множественная регрессия

Этот пример показывает, как использовать множественную регрессию для данных модели, которая является функцией больше чем одной переменной прогноза.

Когда y является функцией больше чем одной переменной прогноза, матричные уравнения, которые выражают отношения среди переменных, должны быть расширены, чтобы разместить дополнительные данные. Это называется множественной регрессией.

Измерьте количество для нескольких значений и. Сохраните эти значения в векторах x1, x2 и y, соответственно.

x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]';
x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]';
y  = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';

Модель этого данные имеет форму

Множественная регрессия решает для неизвестных коэффициентов, и путем минимизации суммы квадратов отклонений данных от модели (соответствие наименьших квадратов).

Создайте и решите набор одновременных уравнений путем формирования матрицы дизайна, X.

X = [ones(size(x1))  x1  x2];

Решите для параметров при помощи оператора наклонной черты влево.

a = X\y

a = 3×1

    0.1018
    0.4844
   -0.2847

Наименьшие квадраты соответствуют, модель данных

Чтобы подтвердить модель, найдите максимум абсолютного значения отклонения данных от модели.

Y = X*a;
MaxErr = max(abs(Y - y))

MaxErr = 0.0038

Это значение намного меньше, чем любое из значений данных, указывая, что эта модель точно следует за данными.

Программное аппроксимирование

Этот пример показывает, как использовать функции MATLAB для:

• Вычисление коэффициентов корреляции

• Подбор кривой многочлену к данным

• Графическое изображение и вычисление границ уверенности

Загрузите демонстрационные данные переписи от census.mat, который содержит данные о населении U.S. с лет 1790 - 1990.

load census

Это добавляет следующие две переменные к MATLAB workspace.

Отобразите данные на графике.

plot(cdate,pop,'ro')
title('U.S. Population from 1790 to 1990')

График показывает сильный шаблон, который указывает на высокую корреляцию между переменными.

corrcoef(cdate,pop)

ans = 2×2

    1.0000    0.9597
    0.9597    1.0000

[p,ErrorEst] = polyfit(cdate,pop,2);

pop_fit = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop_fit,'-',cdate,pop,'+');
title('U.S. Population from 1790 to 1990')
legend('Polynomial Model','Data','Location','NorthWest');
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');

res = pop - pop_fit;
figure, plot(cdate,res,'+')
title('Residuals for the Quadratic Polynomial Model')

[pop_fit,delta] = polyval(p,cdate,ErrorEst);

plot(cdate,pop,'+',...
     cdate,pop_fit,'g-',...
     cdate,pop_fit+2*delta,'r:',...
     cdate,pop_fit-2*delta,'r:'); 
xlabel('Census Year');
ylabel('Population (millions)');
title('Quadratic Polynomial Fit with Confidence Bounds')
grid on