Полиномиальное аппроксимирование кривыми
p = polyfit(x,y,n)[p,S] = polyfit(x,y,n)[p,S,mu] = polyfit(x,y,n)p = polyfit(x,y,n) p(x) градуса n, который является лучшим соответствием (в смысле наименьших квадратов) для данных в y. Коэффициенты в p находятся в убывающих степенях, и длиной p является n+1
[p,S] = polyfit(x,y,n) S, который может использоваться в качестве входного параметра к polyval, чтобы получить ошибочные оценки.
[p,S,mu] = polyfit(x,y,n) mu, который является двухэлементным вектором с центрированием и масштабированием значений. mu(1) является mean(x), и mu(2) является std(x). Используя эти значения, polyfit центрирует x в нуле и масштабирует его, чтобы иметь модульное стандартное отклонение,
Это центрирование и преобразование масштабирования улучшают числовые свойства и многочлена и алгоритма подбора.
Сгенерируйте 10 точек, равномерно распределенных вдоль синусоиды в интервале [0,4*pi].
x = linspace(0,4*pi,10); y = sin(x);
Используйте polyfit, чтобы соответствовать многочлену 7-го градуса к точкам.
p = polyfit(x,y,7);
Оцените многочлен на более прекрасной сетке и постройте график результатов.
x1 = linspace(0,4*pi); y1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) hold off
Создайте вектор 5 равномерно распределенных точек в интервале [0,1] и оцените
в тех точках.
x = linspace(0,1,5); y = 1./(1+x);
Соответствуйте многочлену градуса 4 к 5 точкам. В целом, для точек n, можно соответствовать многочлену градуса n-1, чтобы точно пройти через точки.
p = polyfit(x,y,4);
Выполните исходную функцию и аппроксимацию полиномом на более прекрасной сетке точек между 0 и 2.
x1 = linspace(0,2); y1 = 1./(1+x1); f1 = polyval(p,x1);
Постройте график значений функции и аппроксимации полиномом в более широком интервале [0,2] с точками, используемыми, чтобы получить аппроксимацию полиномом, подсвеченную как круги. Аппроксимация полиномом хороша в исходном интервале [0,1], но быстро отличается от подходящей функции за пределами того интервала.
figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1) plot(x1,f1,'r--') legend('y','y1','f1')
Сначала сгенерируйте вектор точек x, равномерно распределенных в интервале [0,2.5], и затем оцените erf(x) в тех точках.
x = (0:0.1:2.5)'; y = erf(x);
Определите коэффициенты многочлена приближения градуса 6.
p = polyfit(x,y,6)
p = 1×7
0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004
Чтобы видеть, насколько хороший соответствие, оцените многочлен в точках данных и сгенерируйте таблицу, показывающую данные, соответствие и ошибку.
f = polyval(p,x); T = table(x,y,f,y-f,'VariableNames',{'X','Y','Fit','FitError'})
T=26×4 table
X Y Fit FitError
___ _______ __________ ___________
0 0 0.00044117 -0.00044117
0.1 0.11246 0.11185 0.00060836
0.2 0.2227 0.22231 0.00039189
0.3 0.32863 0.32872 -9.7429e-05
0.4 0.42839 0.4288 -0.00040661
0.5 0.5205 0.52093 -0.00042568
0.6 0.60386 0.60408 -0.00022824
0.7 0.6778 0.67775 4.6383e-05
0.8 0.7421 0.74183 0.00026992
0.9 0.79691 0.79654 0.00036515
1 0.8427 0.84238 0.0003164
1.1 0.88021 0.88005 0.00015948
1.2 0.91031 0.91035 -3.9919e-05
1.3 0.93401 0.93422 -0.000211
1.4 0.95229 0.95258 -0.00029933
1.5 0.96611 0.96639 -0.00028097
⋮
В этом интервале интерполированные значения и фактические значения соглашаются справедливо тесно. Создайте график показать, как вне этого интервала, экстраполируемые значения быстро отличаются от фактических данных.
x1 = (0:0.1:5)'; y1 = erf(x1); f1 = polyval(p,x1); figure plot(x,y,'o') hold on plot(x1,y1,'-') plot(x1,f1,'r--') axis([0 5 0 2]) hold off
Составьте таблицу данных о населении в течение лет 1750 - 2000 и постройте график точек данных.
year = (1750:25:2000)'; pop = 1e6*[791 856 978 1050 1262 1544 1650 2532 6122 8170 11560]'; T = table(year, pop)
T=11×2 table
year pop
____ _________
1750 7.91e+08
1775 8.56e+08
1800 9.78e+08
1825 1.05e+09
1850 1.262e+09
1875 1.544e+09
1900 1.65e+09
1925 2.532e+09
1950 6.122e+09
1975 8.17e+09
2000 1.156e+10
plot(year,pop,'o')
Используйте polyfit с тремя выходными параметрами, чтобы соответствовать многочлену 5-го градуса, использующему центрирование и масштабирование, которое улучшает числовые свойства проблемы. polyfit центрирует данные в year в 0 и масштабирует его, чтобы иметь стандартное отклонение 1, который избегает плохо обусловленной матрицы Вандермонда в подходящем вычислении.
[p,~,mu] = polyfit(T.year, T.pop, 5);
Используйте polyval с четырьмя входными параметрами, чтобы оценить p с масштабированными годами, (year-mu(1))/mu(2). Постройте график результатов против исходных лет.
f = polyval(p,year,[],mu); hold on plot(year,f) hold off
Соответствуйте простой линейной модели регрессии к набору дискретных точек 2D данных.
Создайте несколько векторов демонстрационных точек данных (x, y). Соответствуйте первому многочлену градуса к данным.
x = 1:50; y = -0.3*x + 2*randn(1,50); p = polyfit(x,y,1);
Оцените подходящий полиномиальный p в точках в x. Постройте график получившейся линейной модели регрессии с данными.
f = polyval(p,x); plot(x,y,'o',x,f,'-') legend('data','linear fit')
Соответствуйте линейной модели к набору точек данных и постройте график результатов, включая оценку 95%-го интервала прогноза.
Создайте несколько векторов демонстрационных точек данных (x, y). Используйте polyfit, чтобы соответствовать первому многочлену градуса к данным. Задайте два выходных параметров, чтобы возвратить коэффициенты для линейного соответствия, а также структуры оценки погрешности.
x = 1:100; y = -0.3*x + 2*randn(1,100); [p,S] = polyfit(x,y,1);
Оцените аппроксимацию полиномом первой степени в p в точках в x. Задайте структуру оценки погрешности как третий входной параметр так, чтобы polyval вычислил оценку стандартной погрешности. Оценка стандартной погрешности возвращена в delta.
[y_fit,delta] = polyval(p,x,S);
Отобразите на графике исходные данные, линейное соответствие и 95%-й интервал прогноза
.
plot(x,y,'bo') hold on plot(x,y_fit,'r-') plot(x,y_fit+2*delta,'m--',x,y_fit-2*delta,'m--') title('Linear Fit of Data with 95% Prediction Interval') legend('Data','Linear Fit','95% Prediction Interval')
В проблемах со многими точками, увеличивая градус аппроксимации полиномом с помощью polyfit не всегда приводит к лучшему соответствию. Старшие многочлены могут быть колебательными между точками данных, ведя к более плохому соответствию к данным. В тех случаях вы можете использовать аппроксимацию полиномом младшего разряда (который имеет тенденцию быть более сглаженным между точками), или различный метод, в зависимости от проблемы.
Многочлены являются неограниченными, колебательными функциями по своей природе. Поэтому они не являются подходящими к экстраполированию ограниченных данных или монотонными (увеличение или уменьшение) данные.
polyfit использует x, чтобы сформировать матричный V Вандермонда со столбцами n+1 и строками m = length(x), приводящими к линейной системе
который polyfit решает с p = V\y. Поскольку столбцы в матрице Вандермонда являются степенями векторного x, количество условия V является часто большим для старших соответствий, приводящих к сингулярной матрице коэффициентов. В тех случаях центрирование и масштабирование могут улучшить числовые свойства системы произвести более надежное соответствие.