Преобразования Фурье

Преобразование Фурье является математической формулой, которая связывает сигнал, выбранный вовремя или пробел к тому же сигналу, выбранному в частоте. В обработке сигналов преобразование Фурье может показать важные характеристики сигнала, а именно, его частотных составляющих.

Преобразование Фурье задано для вектора с однородно выбранными точками

один из комплексных корней из единицы то, где мнимая единица. Для и, индексы и область значений от к.

Функция fft в MATLAB® использует алгоритм быстрого преобразования Фурье, чтобы вычислить преобразование Фурье данных. Рассмотрите синусоидальный x сигнала, который является функцией времени t с частотными составляющими 15 Гц и 20 Гц. Используйте временной вектор, выбранный в инкрементах секунды в течение 10 секунд.

t = 0:1/50:10-1/50;                     
x = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*20*t);
plot(t,x)

Вычислите преобразование Фурье сигнала и создайте векторный f, который соответствует выборке сигнала на пробеле частоты.

y = fft(x);     
f = (0:length(y)-1)*50/length(y);

Когда вы строите график значения сигнала как функция частоты, скачки в значении соответствуют частотным составляющим сигнала 15 Гц и 20 Гц.

plot(f,abs(y))
title('Magnitude')

Преобразование также производит зеркальную копию скачков, которые соответствуют отрицательным частотам сигнала. Чтобы лучше визуализировать эту периодичность, можно использовать функцию fftshift, которая выполняет центрируемый нулем, циклический сдвиг на преобразовании.

n = length(x);                         
fshift = (-n/2:n/2-1)*(50/n);
yshift = fftshift(y);
plot(fshift,abs(yshift))

Сигналы с шумом

В научных приложениях сигналы часто повреждаются со случайным шумом, маскируя их частотные составляющие. Преобразование Фурье может обработать случайный шум и показать частоты. Например, создайте новый сигнал, xnoise, путем введения Гауссова шума в исходный сигнал, x.

xnoise = x + 2.5*gallery('normaldata',size(t),4);

Степень сигнала как функция частоты является общей метрикой, используемой в обработке сигналов. Степень является значением в квадрате преобразования Фурье сигнала, нормализованного количеством выборок частоты. Вычислите и постройте график спектра мощности сигнала с шумом, центрируемого на нулевой частоте. Несмотря на шум, можно все еще разобрать частоты сигнала из-за скачков в степени.

ynoise = fft(xnoise);
ynoiseshift = fftshift(ynoise);    
power = abs(ynoiseshift).^2/n; 
plot(fshift,power)
title('Power')

Вычислительная эффективность

Используя формулу преобразования Фурье непосредственно, чтобы вычислить каждый из элементов требует на порядке операций с плавающей точкой. Алгоритм быстрого преобразования Фурье требует только на порядке операций вычислить. Эта вычислительная эффективность является большим преимуществом при обработке данных, который имеет миллионы точек данных. Много специализированных реализаций алгоритма быстрого преобразования Фурье еще более эффективны, когда степень 2.

Считайте аудиоданные собранными из подводных микрофонов недалеко от берегов Калифорнии. Это данные может быть найдено в библиотеке, сохраняемой Программой исследований Биоакустики Корнелльского университета. Загрузите и отформатируйте подмножество данных в bluewhale.au, который содержит Тихоокеанскую вокализацию голубого кита. Можно использовать команду sound(x,fs), чтобы слушать целый звуковой файл.

whaleFile = 'bluewhale.au';
[x,fs] = audioread(whaleFile);
whaleMoan = x(2.45e4:3.10e4);
t = 10*(0:1/fs:(length(whaleMoan)-1)/fs);

plot(t,whaleMoan)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
xlim([0 t(end)])

Задайте новую длину сигнала, которая является следующей степенью 2 больших, чем исходная длина. Затем используйте fft, чтобы вычислить преобразование Фурье с помощью новой длины сигнала. fft автоматически заполняет данные нулями, чтобы увеличить объем выборки. Это дополнение может сделать вычисление преобразования значительно быстрее, особенно для объемов выборки с большими простыми множителями.

m = length(whaleMoan); 
n = pow2(nextpow2(m));
y = fft(whaleMoan,n);

Постройте график спектра мощности сигнала. График показывает, что стон состоит из основной частоты приблизительно 17 Гц и последовательности гармоник, где вторая гармоника подчеркнута.

f = (0:n-1)*(fs/n)/10; % frequency vector
power = abs(y).^2/n;   % power spectrum      
plot(f(1:floor(n/2)),power(1:floor(n/2)))
xlabel('Frequency')
ylabel('Power')

Документация