Используя bicg с Матричным Входным параметром

Этот пример показывает, как использовать bicg с матричным входным параметром. bicg Следующий код:

n = 100; 
on = ones(n,1); 
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2); 
tol = 1e-8; 
maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n); 
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);

x = bicg(A,b,tol,maxit,M1,M2);

отображения это сообщение:

bicg converged at iteration 9 to a solution with relative
residual 5.3e-009

Используя bicg с Указателем на функцию

Этот пример заменяет матричный A в предыдущем примере с указателем на функцию матричного векторного произведения afun. Пример содержится в файле run_bicg это

Поместите следующее в файл под названием run_bicg:

function x1 = run_bicg
n = 100; 
on = ones(n,1); 
b = afun(on,'notransp'); 
tol = 1e-8; 
maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n); 
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);
x1 = bicg(@afun,b,tol,maxit,M1,M2);

    function y = afun(x,transp_flag)
       if strcmp(transp_flag,'transp')      % y = A'*x
          y = 4 * x;
          y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
          y(2:n) = y(2:n) - x(1:n-1);
       elseif strcmp(transp_flag,'notransp') % y = A*x
          y = 4 * x;
          y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
          y(1:n-1) = y(1:n-1) - x(2:n);
       end
    end
end

Когда вы входите

x1 = run_bicg;

^MATLAB отображает сообщение

bicg converged at iteration 9 to a solution with ...
relative residual 
5.3e-009

Используя bicg с Предварительным формирователем

Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.

Загрузите A = west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.

load west0479;
A = west0479;

Задайте b так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.

b = full(sum(A,2));

Установите допуск и максимальное количество итераций.

tol = 1e-12;
maxit = 20;

Используйте bicg, чтобы найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.

[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = bicg(A,b,tol,maxit);

fl0 равняется 1, потому что bicg не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. На самом деле поведение bicg так плохо, что исходное предположение (x0 = zeros(size(A,2),1)) является лучшим решением и возвращено, как обозначено it0 = 0. MATLAB® хранит остаточную историю в rv0.

Постройте график поведения bicg.

semilogy(0:maxit,rv0/norm(b),'-o');
xlabel('Iteration number');
ylabel('Relative residual');

График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.

Создайте предварительный формирователь с ilu, поскольку матричный A несимметричен.

[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));

Error using ilu

There is a pivot equal to zero. Consider decreasing

the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.

MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.

Можно попробовать еще раз с уменьшенным допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.

[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6));
[x1,fl1,rr1,it1,rv1] = bicg(A,b,tol,maxit,L,U);

fl1 0, потому что bicg управляет относительной невязкой к 4.1410e-014 (значение rr1). Относительная невязка является меньше, чем предписанный допуск 1e-12 в шестой итерации (значение it1), когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6. Выводом rv1(1) является norm(b), и выводом rv1(7) является norm(b-A*x2).

Можно следовать, прогресс bicg путем графического изображения относительных невязок в каждой итерации, начинающей с первоначальной сметы (выполните итерации номера 0).

semilogy(0:it1,rv1/norm(b),'-o');
xlabel('Iteration number');
ylabel('Relative residual');