Метод минимальных невязок
x = minres (A, b)
minres (A, b, tol)
minres (A, b, tol, maxit)
minres (A, b, tol, maxit, M)
minres (A, b, tol, maxit, M1, M2)
minres (A, b, tol, maxit, M1, M2, x0)
[x, флаг] = minres (A, b...)
[x, флаг, relres] = minres (A, b...)
[x, флаг, relres, проход] = minres (A, b...)
[x, флаг, relres, проход, resvec] = minres (A, b...)
[x, флаг, relres, проход, resvec, resveccg] = minres (A, b...)
x = minres(A,b) пытается найти минимальное решение для невязки нормы x к системе линейных уравнений A*x=b. n-by-n матрица коэффициентов A должен быть симметричным, но не должен быть положителен определенный. Это должно быть большим и разреженным. Вектор - столбец b должен иметь длину n. Можно задать A как указатель на функцию, afun, такой, что afun(x) возвращает A*x.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun, а также функцию перед формирователем mfun, описанный ниже, при необходимости.
Если minres сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если minres не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
minres(A,b,tol) задает допуск метода. Если tol является [], то minres использует значение по умолчанию, 1e-6.
minres(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций. Если maxit является [], то minres использует значение по умолчанию, min(n,20).
minres(A,b,tol,maxit,M) и minres(A,b,tol,maxit,M1,M2) используют симметричный положительный определенный предварительный формирователь M или M = M1*M2 и эффективно решают систему inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b для y и затем возвращают x = inv(sqrt(M))*y. Если M является [] затем, minres не применяет предварительного формирователя. M может быть указателем на функцию mfun, такой, что mfun(x) возвращает M\x.
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение. Если x0 является [], то minres использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = minres(A,b,...) также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
|---|---|
|
|
|
|
| Предварительный формирователь |
|
|
| Один из скаляров, вычисленных во время |
Каждый раз, когда flag не является 0, решение, возвращенный x то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag вывод задан.
[x,flag,relres] = minres(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag является 0, relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...) также возвращает номер итерации, в котором x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit.
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...) также возвращает вектор оценок норм невязки minres в каждой итерации, включая norm(b-A*x0).
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = minres(A,b,...) также возвращает вектор оценок норм невязки Методов сопряженных градиентов в каждой итерации.
n = 100; on = ones(n,1); A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n); b = sum(A,2); tol = 1e-10; maxit = 50; M1 = spdiags(4*on,0,n,n); x = minres(A,b,tol,maxit,M1); minres converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.7e-014
Этот пример заменяет матричный A в предыдущем примере с указателем на функцию матричного векторного произведения afun. Пример содержится в файле run_minres это
Вызовы minres с указателем на функцию @afun в качестве его первого аргумента.
Содержит afun как вложенную функцию, так, чтобы все переменные в run_minres были доступны afun.
Следующее показывает код для run_minres:
function x1 = run_minres
n = 100;
on = ones(n,1);
A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);
tol = 1e-10;
maxit = 50;
M = spdiags(4*on,0,n,n);
x1 = minres(@afun,b,tol,maxit,M);
function y = afun(x)
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
end
endКогда вы входите
x1=run_minres;
MATLAB отображает сообщение
minres converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.7e-014
Используйте симметричную неопределенную матрицу, которая перестала работать с pcg.
A = diag([20:-1:1, -1:-1:-20]); b = sum(A,2); % The true solution is the vector of all ones. x = pcg(A,b); % Errors out at the first iteration.
отображения следующее сообщение:
pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or too large to continue computing. The iterate returned (number 0) has relative residual 1
Однако minres может обработать неопределенный матричный A.
x = minres(A,b,1e-6,40); minres converged at iteration 39 to a solution with relative residual 1.3e-007
[1] Барретт, Ягода R., M., Т. F. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итеративных Методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Пэйдж, C. C. и М. A. Сондерс, “Решение Разреженных Неопределенных Систем Линейных уравнений”. SIAM J. Numer. Анальный., Vol.12, 1975, стр 617-629.