Симметричный метод LQ
x = symmlq (A, b)
symmlq (A, b, tol)
symmlq (A, b, tol, maxit)
symmlq (A, b, tol, maxit, M)
symmlq (A, b, tol, maxit, M1, M2)
symmlq (A, b, tol, maxit, M1, M2, x0)
[x, флаг] = symmlq (A, b...)
[x, флаг, relres] = symmlq (A, b...)
[x, флаг, relres, проход] = symmlq (A, b...)
[x, флаг, relres, проход, resvec] = symmlq (A, b...)
[x, флаг, relres, проход, resvec, resveccg] = symmlq (A, b...)
x = symmlq(A,b)
пытается решить систему линейных уравнений A*x=b
для x
. n
-by-n
матрица коэффициентов A
должен быть симметричным, но не должен быть положителен определенный. Это должно также быть большим и разреженным. Вектор - столбец b
должен иметь длину n
. Можно задать A
как указатель на функцию, afun
, такой, что afun(x)
возвращает A*x
.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun
, а также функцию перед формирователем mfun
, описанный ниже, при необходимости.
Если symmlq
сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если symmlq
не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
symmlq(A,b,tol)
задает допуск метода. Если tol
является []
, то symmlq
использует значение по умолчанию, 1e-6
.
symmlq(A,b,tol,maxit)
задает максимальное количество итераций. Если maxit
является []
, то symmlq
использует значение по умолчанию, min(n,20)
.
symmlq(A,b,tol,maxit,M)
и symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2)
используют симметричный положительный определенный предварительный формирователь M
или M = M1*M2
и эффективно решают систему inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b
для y
и затем return x = in(sqrt(M))*y
. Если M
является []
затем, symmlq
не применяет предварительного формирователя. M
может быть указателем на функцию mfun
, таким образом, что mfun(x)
возвращает M\x
.
symmlq(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
задает исходное предположение. Если x0
является []
, то symmlq
использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = symmlq(A,b,...)
также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
5 | Предварительный формирователь |
Каждый раз, когда flag
не является 0
, решение, возвращенный x
то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag
вывод задан.
[x,flag,relres] = symmlq(A,b,...)
также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
. Если flag
является 0
, relres <= tol
.
[x,flag,relres,iter] = symmlq(A,b,...)
также возвращает номер итерации, в котором x
был вычислен, где 0 <= iter <= maxit
.
[x,flag,relres,iter,resvec] = symmlq(A,b,...)
также возвращает вектор оценок норм невязки symmlq
в каждой итерации, включая norm(b-A*x0)
.
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg] = symmlq(A,b,...)
также возвращает вектор оценок норм невязки методов сопряженных градиентов в каждой итерации.
n = 100; on = ones(n,1); A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n); b = sum(A,2); tol = 1e-10; maxit = 50; M1 = spdiags(4*on,0,n,n); x = symmlq(A,b,tol,maxit,M1); symmlq converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.3e-015
Этот пример заменяет матричный A
в Примере 1 с указателем на функцию матричного векторного произведения afun
. Пример содержится в функциональном run_symmlq
что:
Вызовы symmlq
с указателем на функцию @afun
в качестве его первого аргумента.
Содержит afun
как вложенную функцию, так, чтобы все переменные в run_symmlq
были доступны afun
.
Следующее показывает код для run_symmlq
:
function x1 = run_symmlq n = 100; on = ones(n,1); A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n); b = sum(A,2); tol = 1e-8; maxit = 15; M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n); M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n); x1 = symmlq(@afun,b,tol,maxit,M1); function y = afun(x) y = 4 * x; y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1); y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n); end end
Когда вы входите
x1=run_symmlq;
MATLAB отображает сообщение
symmlq converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.3e-015
Используйте симметричную неопределенную матрицу, которая перестала работать с pcg
.
A = diag([20:-1:1,-1:-1:-20]); b = sum(A,2); % The true solution is the vector of all ones. x = pcg(A,b); % Errors out at the first iteration. pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or too large to continue computing. The iterate returned (number 0) has relative residual 1
Однако symmlq
может обработать неопределенный матричный A
.
x = symmlq(A,b,1e-6,40); symmlq converged at iteration 39 to a solution with relative residual 1.3e-007
[1] Барретт, Ягода R., M., Т. F. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итеративных Методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Пэйдж, C. C. и М. A. Сондерс, "Решение Разреженных Неопределенных Систем Линейных уравнений". SIAM J. Numer. Анальный., Vol.12, 1975, стр 617-629.