Полиномиальная задача о собственных значениях
e = polyeig(A0,A1,...,Ap)[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap)[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap)e = polyeig(A0,A1,...,Ap) p.
[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) X размера n-by-n*p, чьи столбцы являются собственными векторами.
[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) s, длины p*n, содержа числа условия для собственных значений. По крайней мере один из A0 и Ap должен быть несингулярным. Большие числа условия подразумевают, что проблема близко к проблеме с повторными собственными значениями.
Решите квадратичную задачу о собственных значениях, включающую большую матрицу M, ослабив матричный C и матрицу жесткости K. Эта квадратичная задача о собственных значениях является результатом уравнения движения:
Это уравнение применяется к широкому диапазону колеблющихся систем, включая динамическую массово-пружинную систему или электронную сеть RLC. Основное решение
, таким образом, оба
и x должны решить квадратичную задачу о собственных значениях (QEP),
Создайте содействующие матрицы M, C и K, чтобы представлять массово-пружинную систему с четырьмя степенями свободы. Содействующие матрицы все симметричны и положительные полуопределенный, и M является диагональной матрицей.
M = diag([3 1 3 1])
M = 4×4
3 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 1
C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C = 4×4
0.4000 0 -0.3000 0
0 0 0 0
-0.3000 0 0.5000 -0.2000
0 0 -0.2000 0.2000
K = [-7 2 4 0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]
K = 4×4
-7 2 4 0
2 -4 2 0
4 2 -9 3
0 0 3 -3
Решите QEP для собственных значений, собственных векторов и чисел условия с помощью polyeig.
[X,e,s] = polyeig(K,C,M)
X = 4×8
0.1828 0.3421 0.3989 0.0621 0.3890 -0.4143 -0.4575 0.4563
0.3530 -0.9296 0.3330 -0.8571 -0.6366 -0.2717 -0.4981 0.4985
-0.5360 -0.0456 -0.1724 0.3509 -0.3423 0.1666 -0.5106 0.5107
0.7448 0.1295 -0.8368 -0.3720 0.5712 0.8525 -0.5309 0.5315
e = 8×1
-2.4498
-2.1536
-1.6248
2.2279
2.0364
1.4752
0.3353
-0.3466
s = 8×1
0.5813
0.8609
1.2232
0.7855
0.7012
1.2922
10.1097
10.0519
Проверьте, что первое собственное значение, e(1), и первый собственный вектор, X(:,1), удовлетворяет уравнению QEP. Результат близко к, но не точно, нуль.
lambda = e(1); x = X(:,1); (M*lambda^2 + C*lambda + K)*x
ans = 4×1
10-13 ×
-0.0133
-0.0466
0.1465
-0.0622
polyeig обрабатывает следующие упрощенные случаи:
p = 0 или polyeig(A), является стандартной задачей о собственных значениях, eig(A).
p = 1 или polyeig(A,B), является обобщенной задачей о собственных значениях, eig(A,-B).
n = 0 или polyeig(a0,a1,...,ap), является стандартной полиномиальной проблемой, roots([ap ... a1 a0]), где a0,a1,...,ap является скалярами.
Функция polyeig использует QZ-разложение, чтобы найти промежуточные результаты в вычислении обобщенных собственных значений. polyeig использует промежуточные результаты определить, хорошо ли собственные значения определяются. См. описания eig и qz для получения дополнительной информации.
Вычисленные решения не могут существовать или быть уникальными, и могут также быть в вычислительном отношении неточными. Если и A0 и Ap являются сингулярными матрицами, то проблема может быть плохо изложена. Если только один из A0 и Ap сингулярен, то некоторыми собственными значениями может быть 0 или Inf.
Масштабирование A0,A1,...,Ap, чтобы иметь norm(Ai) примерно равняется 1, может увеличить точность polyeig. В целом, однако, эта улучшенная точность не достижима. (См. Tisseur [3] для деталей).
[1] Dedieu, Жан-Пьер и Франсуаз Тиссер. “Теория возмущения для гомогенных полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 358, 2003, стр 71–94.
[2] Tisseur, Франсуаз и Карл Мирберджен. “Квадратичная задача о собственных значениях”. Версия SIAM. Издание 43, Номер 2, 2001, стр 235–286.
[3] Франсуаз Тиссер. “Обратная ошибка и условие полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 309, 2000, стр 339–361.