Создайте матрицу и вычислите уменьшенную форму эшелона строки. В этой форме матрица имеет продвижение 1 с в положении центра каждого столбца.

A = magic(3)

A = 3×3

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

RA = rref(A)

RA = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

3 3 матрица магического квадрата является полным рангом, таким образом, уменьшенная форма эшелона строки является единичной матрицей.

Теперь, вычислите уменьшенную форму эшелона строки матрицы магического квадрата 4 на 4. Задайте два выходных параметров, чтобы возвратить ненулевые столбцы центра. Поскольку эта матрица является неполным рангом, результатом не является единичная матрица.

B = magic(4)

B = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

[RB,p] = rref(B)

RB = 4×4

     1     0     0     1
     0     1     0     3
     0     0     1    -3
     0     0     0     0

p = 1×3

     1     2     3

Используйте Исключение по Гауссу-Жордану на увеличенных матрицах, чтобы решить линейную систему и вычислить матричную инверсию. Эти методы имеют в основном академический интерес, поскольку существуют более эффективные и численно стабильные способы вычислить эти значения.

Создайте 3 3 матрицу магического квадрата. Добавьте дополнительный столбец в конец матрицы. Эта расширенная матрица представляет линейную систему с соответствием дополнительного столбца.

A = magic(3);
A(:,4) = [1; 1; 1]

A = 3×4

     8     1     6     1
     3     5     7     1
     4     9     2     1

Вычислите уменьшенную форму эшелона строки A. Индексируйте в R, чтобы извлечь записи в дополнительном (увеличенном) столбце, который содержит решение линейной системы.

R = rref(A)

R = 3×4

    1.0000         0         0    0.0667
         0    1.0000         0    0.0667
         0         0    1.0000    0.0667

x = R(:,end)

x = 3×1

    0.0667
    0.0667
    0.0667

Более эффективный способ решить эту линейную систему с оператором наклонной черты влево, x = A\b.

Создайте подобную матрицу магического квадрата, но на этот раз добавьте единичную матрицу, одного размера в конец столбцы.

A = [magic(3) eye(3)]

A = 3×6

     8     1     6     1     0     0
     3     5     7     0     1     0
     4     9     2     0     0     1

Вычислите уменьшенную форму эшелона строки A. В этой форме дополнительные столбцы содержат обратную матрицу для 3 3 матрицы магического квадрата.

R = rref(A)

R = 3×6

    1.0000         0         0    0.1472   -0.1444    0.0639
         0    1.0000         0   -0.0611    0.0222    0.1056
         0         0    1.0000   -0.0194    0.1889   -0.1028

inv_A = R(:,4:end)

inv_A = 3×3

    0.1472   -0.1444    0.0639
   -0.0611    0.0222    0.1056
   -0.0194    0.1889   -0.1028

Более эффективный способ вычислить обратную матрицу с inv(A).

Рассмотрите линейную систему уравнений с четырьмя уравнениями и тремя неизвестными.

Создайте расширенную матрицу, которая представляет систему уравнений.

A = [1  1  5;
     2  1  8;
     1  2  7;
    -1  1 -1];
b = [6 8 10 2]';
M = [A b];

Используйте rref, чтобы выразить систему в уменьшенной форме эшелона строки.

R = rref(M)

R = 4×4

     1     0     3     2
     0     1     2     4
     0     0     0     0
     0     0     0     0

Первые две строки R содержат уравнения тот экспресс и с точки зрения. Вторые две строки подразумевают, что там существует по крайней мере одно решение, которое соответствует правому вектору стороны (в противном случае, одно из уравнений читало бы). Третий столбец не содержит центр, независимая переменная - также. Поэтому существует бесконечно много решений для и и могут быть выбраны свободно.

Например, если, то и.

С числовой точки зрения более эффективный способ решить эту систему уравнений с x0 = A\b, который (для прямоугольного матричного A) вычисляет решение методом наименьших квадратов. В этом случае можно проверить точность решения с norm(A*x0-b)/norm(b) и уникальностью решения путем проверки, равен ли rank(A) количеству неизвестных. Если больше чем одно решение существует, то у них всех есть форма, где пустой пробел является null(A) и может быть выбран свободно.