Найдите все кратчайшие пути в графике
[dist] =
graphallshortestpaths(G)
[dist] =
graphallshortestpaths(G, ...'Directed', DirectedValue,
...)
[dist] = graphallshortestpaths(G,
...'Weights', WeightsValue, ...)
G | N на n разреженная матрица, которая представляет график. Ненулевые записи в матричном G представляют веса ребер. |
DirectedValue | Свойство, которое указывает, направлен ли график или неориентированный. Введите false для неориентированного графа. Это приводит к верхнему треугольнику проигнорированной разреженной матрицы. Значением по умолчанию является true. |
WeightsValue | Вектор-столбец, который задает пользовательские веса для ребер в матричном G. Это должно иметь одну запись для каждого ненулевого значения (ребро) в матричном G. Порядок пользовательских весов в векторе должен совпадать с порядком ненулевых значений в матричном G, когда это пересечено по столбцам. Это свойство позволяет вам использовать веса с нулевым знаком. По умолчанию graphallshortestpaths получает информацию веса от ненулевых записей в матричном G. |
Дополнительные сведения о функциях теории графов см. в Функциях Теории графов.
[ находит кратчайшие пути между каждой парой узлов в графике представленными матричным dist] =
graphallshortestpaths(G)G, с помощью алгоритма Джонсона. Вход G является N на n разреженной матрицей, которая представляет график. Ненулевые записи в матричном G представляют веса ребер.
Вывод dist является N на n матрицей, где dist(S,T)S, чтобы предназначаться для узла T. Элементы в диагонали этой матрицы всегда являются 0, указывая на исходный узел и предназначаются для узла, то же самое. 0 не в диагонали указывает, что расстоянием между исходным узлом и целевым узлом является 0. Inf указывает, что нет никакого пути между исходным узлом и целевым узлом.
Алгоритм Джонсона имеет временную сложность O(N*log(N)+N*E), где N и E являются количеством узлов и ребер соответственно.
[...] = graphallshortestpaths (G, 'PropertyName', PropertyValue, ...) graphallshortestpaths с дополнительными свойствами, которые используют имя свойства / пары значения свойства. Можно задать одно или несколько свойств в любом порядке. Каждый PropertyName должен быть заключен в одинарные кавычки и нечувствительный к регистру. Это имя свойства / пары значения свойства следующие:
[ указывает, направлен ли график или неориентированный. Установите dist] =
graphallshortestpaths(G, ...'Directed', DirectedValue,
...)DirectedValue на false для неориентированного графа. Это приводит к верхнему треугольнику проигнорированной разреженной матрицы. Значением по умолчанию является true.
[ позволяет вам задать пользовательские веса для ребер. dist] = graphallshortestpaths(G,
...'Weights', WeightsValue, ...)WeightsValue является вектор-столбцом, имеющим одну запись для каждого ненулевого значения (ребро) в матричном G. Порядок пользовательских весов в векторе должен совпадать с порядком ненулевых значений в матричном G, когда это пересечено по столбцам. Это свойство позволяет вам использовать веса с нулевым знаком. По умолчанию graphallshortestpaths получает информацию веса от ненулевых записей в матричном G.
Создайте и просмотрите ориентированного графа с 6 узлами и 11 ребрами.
W = [.41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21]; DG = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],W) DG = (4,1) 0.4500 (6,2) 0.4100 (2,3) 0.5100 (5,3) 0.3200 (6,3) 0.2900 (3,4) 0.1500 (5,4) 0.3600 (1,5) 0.2100 (2,5) 0.3200 (1,6) 0.9900 (4,6) 0.3800 view(biograph(DG,[],'ShowWeights','on'))
Найдите все кратчайшие пути между каждой парой узлов в ориентированном графе.
graphallshortestpaths(DG)
ans =
0 1.3600 0.5300 0.5700 0.2100 0.9500
1.1100 0 0.5100 0.6600 0.3200 1.0400
0.6000 0.9400 0 0.1500 0.8100 0.5300
0.4500 0.7900 0.6700 0 0.6600 0.3800
0.8100 1.1500 0.3200 0.3600 0 0.7400
0.8900 0.4100 0.2900 0.4400 0.7300 0Получившаяся матрица показывает, что кратчайший путь от узла 1 (первая строка) к узлу 6 (шестой столбец) 0.95. Вы видите это в графике путем трассировки пути от узла 1 к узлу 5 к узлу 4 к узлу 6 (0.21 + 0.36 + 0.38 = 0.95).
Создайте и просмотрите неориентированного графа с 6 узлами и 11 ребрами.
UG = tril(DG + DG') UG = (4,1) 0.4500 (5,1) 0.2100 (6,1) 0.9900 (3,2) 0.5100 (5,2) 0.3200 (6,2) 0.4100 (4,3) 0.1500 (5,3) 0.3200 (6,3) 0.2900 (5,4) 0.3600 (6,4) 0.3800 view(biograph(UG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on'))
Найдите все кратчайшие пути между каждой парой узлов в неориентированном графе.
graphallshortestpaths(UG,'directed',false)
ans =
0 0.5300 0.5300 0.4500 0.2100 0.8300
0.5300 0 0.5100 0.6600 0.3200 0.7000
0.5300 0.5100 0 0.1500 0.3200 0.5300
0.4500 0.6600 0.1500 0 0.3600 0.3800
0.2100 0.3200 0.3200 0.3600 0 0.7400
0.8300 0.7000 0.5300 0.3800 0.7400 0Получившаяся матрица симметрична, потому что она представляет неориентированного графа. Это показывает, что кратчайший путь от узла 1 (первая строка) к узлу 6 (шестой столбец) 0.83. Вы видите это в графике путем трассировки пути от узла 1 к узлу 4 к узлу 6 (0.45 + 0. 38 = 0.83). Поскольку UG является неориентированным графом, мы можем использовать ребро между узлом 1 и узлом 4, который мы не могли сделать в ориентированном графе DG.
[1] Джонсон, D.B. (1977). Эффективные алгоритмы для кратчайших путей в разреженных сетях. Журнал ACM 24 (1), 1-13.
[2] Siek, J.G., Ли, L-Q и Lumsdaine, A. (2002). Руководство пользователя библиотеки графика повышения и справочник, (верхний Сэддл-Ривер, образование НДЖ:ПИРСОНА).
allshortestpaths | graphconncomp | graphisdag | graphisomorphism | graphisspantree | graphmaxflow | graphminspantree | graphpred2path | graphshortestpath | graphtopoorder | graphtraverse