Рассмотрите следующую систему.

G0 = ss(zpk([-1 -5 1+2i 1-2i],[-100 1+2i 1-2i -10],1e3));
H = G0'*G0;

G0 имеет соединение стабильной и нестабильной динамики. H является самосопряженной системой, движущие силы которой состоят из полюсов и нулей G0 и их отражений через мнимую ось. Используйте спектральную факторизацию, чтобы разделить стабильные полюса и нули в G и нестабильные полюса и нули в G'.

[G,S] = spectralfact(H);

Подтвердите, что G является стабильной и минимальной фазой путем проверки, что все ее полюса и нули падают в левой полуплоскости (Re(s) <0).

p = pole(G)

p = 4×1 complex
102 ×

  -0.0100 + 0.0200i
  -0.0100 - 0.0200i
  -0.1000 + 0.0000i
  -1.0000 + 0.0000i

z = zero(G)

z = 4×1 complex

  -1.0000 + 2.0000i
  -1.0000 - 2.0000i
  -1.0000 + 0.0000i
  -5.0000 + 0.0000i

G также имеет модульное сквозное соединение.

G.D

ans = 1

Поскольку H является SISO, S является скаляром. Если бы H был MIMO, размерности S совпадали бы с размерностями ввода-вывода H.

S

S = 1000000

Подтвердите, что G и S удовлетворяют H = G'*S*G путем сравнения исходной системы с различием между исходными и учтенными системами. sigmaplot выдает предупреждение, потому что различие является очень небольшим.

Hf = G'*S*G;
sigmaplot(H,H-Hf)

Warning: The frequency response has poor relative accuracy. This may be because the response is nearly zero or infinite at all frequencies, or because the state-space realization is ill conditioned. Use the "prescale" command to investigate further.

Предположим, что у вас есть следующая модель в пространстве состояний с 2 входами, с 2 выводами, F.

A = [-1.1  0.37;
     0.37 -0.95];
B = [0.72 0.71;
     0    -0.20];
C =  [0.12 1.40
      1.49 1.41];
D = [0.67 0.7172;
    -1.2  0];
F = ss(A,B,C,D);

Предположим далее, что у вас есть симметричная матрица 2 на 2, R.

R =   [0.65    0.61
       0.61   -3.42];

Вычислите спектральную факторизацию системы, данной H = F'*R*F, явным образом не вычисляя H.

[G,S] = spectralfact(F,R);

G является системой минимальной фазы с единичным сквозным соединением.

G.D

ans = 2×2

     1     0
     0     1

Поскольку F, имеет два входных параметров и два выходных параметров, и R и S являются матрицами 2 на 2.

Подтвердите что G'*S*G = F'*R*F путем сравнения исходной факторизации с различием между этими двумя факторизациями. Сингулярные значения различия далеки ниже тех из исходной системы.

Ff = F'*R*F;
Gf = G'*S*G;
sigmaplot(Ff,Ff-Gf)

Рассмотрите следующую систему дискретного времени.

F = zpk(-1.76,[-1+i -1-i],-4,0.002);

F имеет полюса и нули вне модульного круга. Используйте spectralfact, чтобы вычислить систему G со стабильными полюсами и нулями, такими что G'*G = F'*F.

G = spectralfact(F,[])

G =
 
  -3.52 z (z+0.5682)
  ------------------
   (z^2 + z + 0.5)
 
Sample time: 0.002 seconds
Discrete-time zero/pole/gain model.

В отличие от F, G не имеет никаких полюсов или обнуляет вне модульного круга. G действительно имеет дополнительный нуль в z = 0, который является отражением нестабильного нуля в z = Inf в F.

pzplot(G)

Подтвердите что G'*G = F'*F путем сравнения исходной факторизации с различием между этими двумя факторизациями. Сингулярные значения различия далеки ниже тех из исходной факторизации.

Ff = F'*F;
Gf = G'*G;
sigmaplot(Ff,Ff-Gf)