B-сплайны и сглаживающие сплайны

Свойства B-сплайна

Поскольку _Bj,k является ненулевым только на интервале (_tj.. _tj ₊_k), линейная система для коэффициентов B-сплайна сплайна, который будет определен интерполяцией или приближением наименьших квадратов, или как раз когда приближенное решение некоторого дифференциального уравнения, соединена, делая решение той линейной системы особенно легким. Например, чтобы создать сплайн s порядка k с последовательностью узла t ₁ ≤ t ₂≤ ··· ≤ _tn ₊_k так, чтобы s (_xi) =_yi для i =1..., n, использовал линейную систему

$\begin{matrix} \sum_{j = 1}^{n} B_{j, k} (x_{i}) a_{j} = y_{i} & i = 1 : n \end{matrix}$

для неизвестных коэффициентов B-сплайна _aj, в котором каждое уравнение имеет в большей части k ненулевые записи.

Кроме того, много теоретических фактов относительно сплайнов наиболее легко утверждены и/или доказаны с точки зрения B-сплайнов. Например, возможно совпадать с произвольными данными на сайтах $x_{1} < \dots < x_{n}$ исключительно сплайном порядка k с последовательностью узла (_t1..., _tn+k), если и только если _Bj,k(xj)≠0 для всего j (Шенберг-Уитни Кондайшнс). Вычисления с B-сплайнами упрощены стабильными рекуррентными соотношениями

$B_{j, k} (x) = \frac{x - t_{j}}{t_{j + k - 1} - t_{j}} B_{j, k - 1} (x) + \frac{t_{j + k} - x}{t_{j + k} - t_{j + 1}} B_{j + 1, k - 1} (x)$

которые также помогают в преобразовании от B-формы до ppform. Двойное функциональное

$a_{j} (s) : = \sum_{i < k} {(- D)}^{k - i - 1} Ψ_{j} (τ) D^{i} s (τ)$

обеспечивает полезное выражение для j th коэффициент B-сплайна сплайна s с точки зрения его значения и производных на произвольном сайте τ между _tj и _tj+k, и с ψ_j (t): = (_tj+1 –t) ··· (_tj+k–1 –t) / (k –1)! Это может использоваться, чтобы показать, что _aj (s) тесно связан с s на интервале [_tj..tj+k] и кажется наиболее действенными средствами для преобразования от ppform до B-формы.

Вариационный подход и сглаживающие сплайны

Вышеупомянутый конструктивный подход не является единственной авеню к сплайнам. В вариационном подходе сплайн получен как лучший interpolant, например, как функция с самым маленьким m th производная среди всего те, которые совпадают с предписанными значениями функции на определенных сайтах. Как оказалось, среди многих таких доступных сплайнов, только те, которые являются кусочными полиномами или, возможно, кусочные экспоненциалы, нашли много использования. Из особого практического интереса сплайн сглаживания s = s _p, который, для определенных данных (_xi,yi) с x ∊ [a..b], весь i и данные соответствующие положительные веса минимизирует _wi, и для данного сглаживания параметра p,

$p \sum_{i} w_{i} {| y_{i} - f (x_{i}) |}^{2} + (1 - p) \int_{a}^{b} {| D^{m} f (t) |}^{2} d t$

по всем функциям f с производными m. Оказывается, что сплайн сглаживания s является сплайном порядка 2m с пропуском на каждом сайте данных. Параметр сглаживания, p, выбран искусно, чтобы найти золотую середину между желанием ошибочной меры

$E (s) = \sum_{i} w_{i} {| y_{i} - s (x_{i}) |}^{2}$

маленький и желающий меру по шероховатости

$F (D^{m} s) = \int_{a}^{b} {| D^{m} s (t) |}^{2} d t$

маленький. Надежда состоит в том, что s содержит такую же большую информацию, и как можно меньше воображаемого шума, в данных. Один подход к этому (используемый в spaps) должен заставить ^F(Dmf) как можно меньше подвергнуть условию что E(f) быть не больше, чем предписанный допуск. По вычислительным причинам spaps использует (эквивалентный) параметр сглаживания ρ = p / (1–p), т.е. минимизирует ρE (f) + F (^Dmf). Кроме того, полезно время от времени использовать более гибкую меру по шероховатости

$F (D^{m} s) = \int_{a}^{b} λ (t) {| D^{m} s (t) |}^{2} d t$

с λ подходящая положительная функция веса.

Документация