Полиномы являются предпочтительными функциями приближения, когда сглаженная функция должна быть аппроксимирована локально. Например, усеченный Ряд Тейлора
обеспечивает удовлетворительное приближение для f(x), если f достаточно сглажен, и x достаточно близко к a. Но если функция должна быть аппроксимирована на большем интервале, степени, n, полинома приближения, вероятно, придется выбрать неприемлемо большой. Альтернатива должна подразделить интервал [a..b] приближения на достаточно маленькие интервалы [ξj..ξj+1] с a = ξ1 <··· <ξl+1 = b, так, чтобы на каждом таком интервале полиномиальный pj относительно низкой степени мог предоставить хорошее приближение f. Это может даже быть сделано таким способом, которым полиномиальные части смешиваются гладко, т.е. так, чтобы получившаяся исправленная или сложная функция s(x), который равняется pj(x) для x ∊ [ξj ξj+1], весь j, имела несколько непрерывных производных. Любая такая сглаженная функция кусочного полинома вызвана сплайн. И.Дж. Шеенберг ввел этот термин, потому что дважды непрерывно дифференцируемый кубический сплайн с достаточно маленькой первой производной аппроксимирует форму сплайна чертежника.
Существует два обычно используемых способа представлять полиномиальный сплайн, ppform и B-форму. В этом тулбоксе сплайн в ppform часто упоминается как piecewise polynomial, в то время как кусочный полином в B-форме часто упоминается как сплайн. Это отражает то, что кусочные полиномы и (полиномиальные) сплайны являются всего двумя другими взглядами на то же самое.
ppform полиномиального сплайна порядка k предоставляет описание с точки зрения его пропусков ξ1..ξl+1 и локальные полиномиальные коэффициенты cji его частей l.
Например, кубический сплайн имеет порядок 4, соответствуя тому, что это требует, чтобы четыре коэффициента задали кубический полином. ppform удобна для оценки и другого использования сплайна.
B-форма стала стандартным способом представлять сплайн во время его конструкции, потому что B-форма дает возможность создавать в требованиях гладкости через пропуски и приводит к полосным линейным системам. B-форма описывает сплайн как взвешенную сумму
из B-сплайнов необходимого порядка k, с их номером, n, по крайней мере, столь же большим как k –1 плюс количество полиномиальных частей, которые составляют сплайн. Здесь, B j,k = B (· |tj..., tj +k), j th B-сплайн order k для последовательности узла t 1≤t2≤ ··· ≤tn+k. В частности, Bj,k является кусочным полиномом степени < k с пропусками, tj..., tj +k, является неотрицательным, нуль вне интервала [tj.. tj +k], и так нормирован это
Кратность узлов управляет гладкостью, следующим образом: Если номер τ происходит точно времена r в последовательности tj... tj+k, то Bj,k и его первые производные k-r-1 непрерывны через пропуск τ, в то время как (k-r) th производная имеет скачок в τ. Можно экспериментировать со всеми этими свойствами B-сплайна в очень визуальном и интерактивном способе использовать команду bspligui.