Сравните симуляцию, более сглаженную со сглаживавшими состояниями

Этот пример показывает, как результаты симуляции модели в пространстве состояний, более сглаженной (simsmooth), выдерживают сравнение со сглаживавшими состояниями (smooth).

Предположим что отношение между изменением в уровне безработицы ( $x_{1, t}$ ) и темп роста номинального валового национального продукта (nGNP) ( $x_{3, t}$ ) может быть выражен в следующем, форме модели в пространстве состояний.

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t} \\ x_{2, t} \\ x_{3, t} \\ x_{4, t} \end{array}] = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ϕ_{1} & θ_{1} & γ_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ γ_{2} & 0 & ϕ_{2} & θ_{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t - 1} \\ x_{2, t - 1} \\ x_{3, t - 1} \\ x_{4, t - 1} \end{array}] + [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} u_{1, t} \\ u_{2, t} \end{array}]$

$[\begin{array}{cccccccccccccccccccc} y_{1, t} \\ y_{2, t} \end{array}] = [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} x_{1, t} \\ x_{2, t} \\ x_{3, t} \\ x_{4, t} \end{array}] + [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} σ_{1} & 0 \\ 0 & σ_{2} \end{array}] [\begin{array}{cccccccccccccccccccc} ε_{1, t} \\ ε_{2, t} \end{array}],$

где:

$x_{1, t}$ изменение в уровне безработицы во время t.
$x_{2, t}$ фиктивное состояние для MA (1) эффект на $x_{1, t}$ .
$x_{3, t}$ nGNP темп роста во время t.
$x_{4, t}$ фиктивное состояние для MA (1) эффект на $x_{3, t}$ .
$y_{1, t}$ наблюдаемое изменение в уровне безработицы.
$y_{2, t}$ наблюдаемый nGNP темп роста.
$u_{1, t}$ и $u_{2, t}$ серия Gaussian воздействий состояния, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение 1.
$ε_{1, t}$ серия Gaussian инноваций наблюдения, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение $σ_{1}$ .
$ε_{2, t}$ серия Gaussian инноваций наблюдения, имеющих среднее значение 0 и стандартное отклонение $σ_{2}$ .

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит уровень безработицы и nGNP ряд, среди прочего.

load Data_NelsonPlosser

Предварительно обработайте данные путем взятия натурального логарифма nGNP ряда и первого различия каждого. Кроме того, удалите стартовые значения NaN из каждого ряда.

isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN);
u = DataTable.UR(~isNaN);
T = size(gnpn,1);                          % Sample size
y = zeros(T-1,2);                          % Preallocate
y(:,1) = diff(u);
y(:,2) = diff(log(gnpn));

Этот ряд использования доходов в качестве примера без значений NaN. Однако с помощью среды Фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить ряд, содержащий отсутствующие значения.

Задайте содействующие матрицы.

A = [NaN NaN NaN 0; 0 0 0 0; NaN 0 NaN NaN; 0 0 0 0];
B = [1 0;1 0 ; 0 1; 0 1];
C = [1 0 0 0; 0 0 1 0];
D = [NaN 0; 0 NaN];

Задайте модель в пространстве состояний с помощью ssm. Проверьте, что образцовая спецификация сопоставима с моделью в пространстве состояний.

Mdl = ssm(A,B,C,D)

Mdl = 
State-space model type: ssm

State vector length: 4
Observation vector length: 2
State disturbance vector length: 2
Observation innovation vector length: 2
Sample size supported by model: Unlimited
Unknown parameters for estimation: 8

State variables: x1, x2,...
State disturbances: u1, u2,...
Observation series: y1, y2,...
Observation innovations: e1, e2,...
Unknown parameters: c1, c2,...

State equations:
x1(t) = (c1)x1(t-1) + (c3)x2(t-1) + (c4)x3(t-1) + u1(t)
x2(t) = u1(t)
x3(t) = (c2)x1(t-1) + (c5)x3(t-1) + (c6)x4(t-1) + u2(t)
x4(t) = u2(t)

Observation equations:
y1(t) = x1(t) + (c7)e1(t)
y2(t) = x3(t) + (c8)e2(t)

Initial state distribution:

Initial state means are not specified.
Initial state covariance matrix is not specified.
State types are not specified.

Оцените параметры модели и используйте случайный набор начальных значений параметров для оптимизации. Ограничьте оценку $σ_{1}$ и $σ_{2}$ ко всем положительным, вещественным числам с помощью аргумента пары "имя-значение" 'lb'. Для числовой устойчивости задайте Гессиан, когда программное обеспечение вычислит ковариационную матрицу параметра, с помощью аргумента пары "имя-значение" 'CovMethod'.

rng(1);
params0 = rand(8,1);
[EstMdl,estParams] = estimate(Mdl,y,params0,...
    'lb',[-Inf -Inf -Inf -Inf -Inf -Inf 0 0],'CovMethod','hessian');

Method: Maximum likelihood (fmincon)
Sample size: 61
Logarithmic  likelihood:     -199.397
Akaike   info criterion:      414.793
Bayesian info criterion:       431.68
      |     Coeff       Std Err    t Stat     Prob  
----------------------------------------------------
 c(1) |  0.03387       0.15213     0.22262  0.82383 
 c(2) | -0.01258       0.05749    -0.21876  0.82684 
 c(3) |  2.49856       0.22759    10.97827   0      
 c(4) |  0.77438       2.58648     0.29940  0.76464 
 c(5) |  0.13996       2.64342     0.05295  0.95778 
 c(6) |  0.00366       2.45456     0.00149  0.99881 
 c(7) |  0.00239       2.11321     0.00113  0.99910 
 c(8) |  0.00014       0.12685     0.00113  0.99910 
      |                                             
      |   Final State   Std Dev     t Stat    Prob  
 x(1) |  1.40000       0.00239   585.21191   0      
 x(2) |  0.21778       0.91641     0.23765  0.81216 
 x(3) |  0.04730       0.00014   329.63031   0      
 x(4) |  0.03568       0.00015   240.98656   0

EstMdl является моделью ssm, и можно получить доступ к ее свойствам с помощью записи через точку.

Моделируйте пути 1e4 наблюдений от подходящей, модели в пространстве состояний EstMdl с помощью более сглаженной симуляции. Задайте, чтобы моделировать наблюдения в течение каждого периода.

numPaths = 1e4;
SimX = simsmooth(EstMdl,y,'NumPaths',numPaths);

SimX является 4 T - 1 numPaths матрицей, содержащей моделируемые состояния. Строки SimX соответствуют периодам, столбцы соответствуют состоянию в модели, и страницы соответствуют путям.

Оцените сглаживавшие средние значения состояния, стандартные отклонения, и 95% доверительных интервалов.

SmoothBar = mean(SimX,3);
SmoothSTD = std(SimX,0,3);
SmoothCIL = SmoothBar - 1.96*SmoothSTD;
SmoothCIU = SmoothBar + 1.96*SmoothSTD;

Оцените сглаженные состояния с помощью smooth.

SmoothX = smooth(EstMdl,y);

Постройте сглаживавшие состояния и средние значения моделируемых состояний и их 95% доверительных интервалов.

figure
h = plot(dates(2:T),SmoothBar(:,1),'-r',...
    dates(2:T),SmoothCIL(:,1),':b',...
    dates(2:T),SmoothCIU(:,1),':b',...
    dates(2:T),SmoothX(:,1),':k',...
    'LineWidth',3);
xlabel 'Period';
ylabel 'Unemployment rate';
legend(h([1,2,4]),{'Simulated, smoothed state mean','95% confidence interval',...
    'Smoothed states'},'Location','Best');
title 'Smoothed Unemployment Rate';
axis tight

figure
h = plot(dates(2:T),SmoothBar(:,3),'-r',...
    dates(2:T),SmoothCIL(:,3),':b',...
    dates(2:T),SmoothCIU(:,3),':b',...
    dates(2:T),SmoothX(:,3),':k',...
    'LineWidth',3);
xlabel 'Period';
ylabel 'nGNP';
legend(h([1,2,4]),{'Simulated, smoothed state mean','95% confidence interval',...
    'Smoothed states'},'Location','Best');
title 'Smoothed nGNP';
axis tight

Моделируемые средние значения состояния практически идентичны сглаживавшим состояниям.

Документация

Сравните симуляцию, более сглаженную со сглаживавшими состояниями

Смотрите также

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка