Предположим, что скрытый процесс является случайным обходом. Следовательно, уравнение состояния

где $$u_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Сгенерируйте случайную последовательность 100 наблюдений от $$x_t$$, предположение, что ряд запускается в 1,5.

T = 100; 
rng(1); % For reproducibility 
u = randn(T,1);
x = cumsum([1.5;u]);
x = x(2:end);

Предположим далее, что скрытый процесс подвергается аддитивной погрешности измерения. Следовательно, уравнение наблюдения

где $${\epsilon }_t$$ является Гауссовым со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Используйте случайный скрытый процесс состояния (x) и уравнение наблюдения, чтобы сгенерировать наблюдения.

y = x + randn(T,1);

Вместе, скрытые уравнения процесса и наблюдения составляют модель в пространстве состояний. Примите, что состояние является стационарным AR (1) процесс. Затем модель в пространстве состояний, чтобы оценить

Задайте содействующие матрицы. Используйте значения NaN для неизвестных параметров.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;
D = NaN;

Создайте рассеянную модель в пространстве состояний путем передачи содействующих матриц dssm и указывания, что тип состояния является рассеянным.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,D,'StateType',StateType);

Mdl является объектом модели dssm. Программное обеспечение устанавливает значения для среднего значения начального состояния и отклонения к 0 и Inf. Проверьте, что модель задана правильно с помощью отображения в Командном окне.

Найдите, что хороший набор стартовых параметров использует для оценки.

params0 = [1 1 1]; % Initial values chosen arbitrarily
Output = refine(Mdl,y,params0);

Output является массивом структур 1 на 5, содержащим рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие самому большому loglikelihood

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 3

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×3

    0.9781    0.8965    0.9336

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Loose bound interior point'

Алгоритмом, который приводит к самому высокому loglikelihood значению, является Quasi-Newton, который является первым struct в массиве структур Output.

Оцените Mdl с помощью refinedParams0, который является вектором усовершенствованных начальных значений параметров.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0,'lb',[-Inf,0,0]);

Method: Maximum likelihood (fmincon)
Effective Sample size:             99
Logarithmic  likelihood:     -179.018
Akaike   info criterion:      364.036
Bayesian info criterion:      371.851
      |     Coeff       Std Err   t Stat     Prob  
---------------------------------------------------
 c(1) |  0.97805       0.02947   33.18392   0      
 c(2) |  0.89651       0.18465    4.85529  0.00000 
 c(3) |  0.93355       0.15187    6.14706   0      
      |                                            
      |   Final State   Std Dev    t Stat    Prob  
 x(1) | -3.95108       0.72269   -5.46719   0      

Коэффициент модели AR в двух стандартных погрешностях 1, который предполагает, что процессы состояния являются случайным обходом.

Предположим, что отношение между уровнем безработицы и номинальным валовым национальным продуктом (nGNP) линейно. Предположим далее, что уровень безработицы является серией AR (1). Символически, и в форме пространства состояний, модель

где:

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера, который содержит уровень безработицы и nGNP серийные данные.

load Data_NelsonPlosser

Предварительно обработайте данные путем взятия первого различия уровня безработицы и преобразования nGNP к ряду возвратов. Удалите наблюдения, соответствующие последовательности значений NaN в начале ряда уровня безработицы.

isNaN = any(ismissing(DataTable),2);       % Flag periods containing NaNs
gnpn = DataTable.GNPN(~isNaN);
y = DataTable.UR(~isNaN);
y = diff(y);
T = size(y,1);
Z = [ones(T,1) price2ret(gnpn)];

Этот пример продолжает использовать ряд без значений NaN. Однако с помощью среды Фильтра Калмана, программное обеспечение может разместить ряд, содержащий отсутствующие значения.

Задайте содействующие матрицы.

A = NaN;
B = NaN;
C = 1;

Создайте модель в пространстве состояний с помощью dssm путем предоставления содействующих матриц и указывания, что значения состояния прибывают из рассеянного распределения. Рассеянная спецификация указывает на полное незнание о моментах начального распределения.

StateType = 2;
Mdl = dssm(A,B,C,'StateType',StateType);

Mdl является объектом модели dssm.

Найдите, что хороший набор стартовых параметров использует для оценки.

params0 = [150 1000]; % Initial values chosen arbitrarily
Beta0 = [1 -100];
Output = refine(Mdl,y,params0,'Predictors',Z,'Beta0',Beta0);

Output является массивом структур 1 на 5, содержащим рекомендуемые начальные значения параметров.

Выберите начальные значения параметров, соответствующие самому большому loglikelihood.

logL = cell2mat({Output.LogLikelihood})';
[~,maxLogLIndx] = max(logL)

maxLogLIndx = 5

refinedParams0 = Output(maxLogLIndx).Parameters

refinedParams0 = 1×4

    0.2070   -1.3229    1.3610  -24.8848

Description = Output(maxLogLIndx).Description

Description = 
'Starting value shrinkage'

Алгоритмом, который приводит к самому высокому loglikelihood значению, является Nelder-Mead simplex, который является вторым struct в массиве структур Output.

Оцените Mdl с помощью усовершенствованных начальных значений параметров refinedParams0.

EstMdl = estimate(Mdl,y,refinedParams0(1:(end - 2)),'Predictors',Z,...
    'Beta0',refinedParams0((end - 1):end));

Method: Maximum likelihood (fminunc)
Effective Sample size:             60
Logarithmic  likelihood:     -101.924
Akaike   info criterion:      211.849
Bayesian info criterion:      220.292
           |      Coeff       Std Err    t Stat     Prob  
----------------------------------------------------------
 c(1)      |   0.20700       0.12330     1.67891  0.09317 
 c(2)      |  -1.32287       0.08415   -15.71964   0      
 y <- z(1) |   1.36101       0.23736     5.73388   0      
 y <- z(2) | -24.88484       1.78021   -13.97861   0      
           |                                              
           |    Final State   Std Dev     t Stat    Prob  
 x(1)      |   1.21611        0           Inf      0