Создайте Цепи Маркова с 10 состояниями из двух случайных матриц перехода с одной матрицей перехода, являющейся более разреженным, чем другой.

rng(1); % For reproducibility
numstates = 10;
mc1 = mcmix(numstates,'Zeros',20);
mc2 = mcmix(numstates,'Zeros',80); % mc2.P is more sparse than mc1.P

Постройте собственные значения матриц перехода на отдельных комплексных плоскостях.

figure;
eigplot(mc1);

figure;
eigplot(mc2);

Розовый диск в графиках показывает спектральный разрыв (различие между двумя самыми большими модулями собственного значения). Спектральный разрыв определяет смесительное время Цепи Маркова. Большие разрывы указывают на более быстрое смешивание, тогда как тонкие разрывы указывают на более медленное смешивание. Поскольку спектральный разрыв mc1 является более толстым, чем спектральный разрыв mc2, mc1 смешивается быстрее, чем mc2.

Рассмотрите эту теоретическую, правильно-стохастическую матрицу перехода стохастического процесса.

Создайте Цепь Маркова, которая характеризуется матрицей P перехода.

P = [ 0   0  1/2 1/4 1/4  0   0 ;
      0   0  1/3  0  2/3  0   0 ;
      0   0   0   0   0  1/3 2/3;
      0   0   0   0   0  1/2 1/2;
      0   0   0   0   0  3/4 1/4;
     1/2 1/2  0   0   0   0   0 ;
     1/4 3/4  0   0   0   0   0 ];
mc = dtmc(P);

Постройте и возвратите собственные значения матрицы перехода на комплексной плоскости.

figure;
eVals = eigplot(mc)

eVals = 7×1 complex

  -0.5000 + 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
   1.0000 + 0.0000i
  -0.3207 + 0.0000i
   0.1604 + 0.2777i
   0.1604 - 0.2777i
  -0.0000 + 0.0000i

Три собственных значения имеют модуль один, который указывает, что период mc равняется трем.

Вычислите смесительное время Цепи Маркова.

[~,tMix] = asymptotics(mc)

tMix = 0.8793