DDE с постоянными задержками

Этот пример показывает, как использовать dde23, чтобы решить систему DDEs (дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом) с постоянными задержками.

Система уравнений

$\begin{array}{l} {y_{1}}^{'} (t) = y_{1} (t - 1) \\ {y_{2}}^{'} (t) = y_{1} (t - 1) + y_{2} (t - 0.2) \\ {y_{3}}^{'} (t) = y_{2} (t) . \end{array}$

Функция истории для $t \leq 0$ является постоянным, $y_{1} (t) = y_{2} (t) = y_{3} (t) = 1$ .

Задержки уравнений только присутствуют в $y$ условия и сами задержки являются константами, таким образом, уравнения формируют систему постоянных уравнений задержки.

Чтобы решить эту систему уравнений в MATLAB, необходимо закодировать уравнения, задержки и историю прежде, чем вызвать решатель дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом dde23, который предназначается для систем с постоянными задержками. Вы любой может включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.

Задержки кода

Во-первых, создайте вектор, чтобы задать задержки системы уравнений. Эта система имеет две различных задержки:

Задержка 1 в первом компоненте $y_{1} (t - 1)$ .
Задержка 0,2 во втором компоненте $y_{2} (t - 0.2)$ .

dde23 принимает аргумент вектора для задержек, где каждый элемент является постоянной задержкой одного компонента.

lags = [1 0.2];

Уравнение кода

Теперь, создайте функцию, чтобы закодировать уравнения. Эта функция должна иметь подпись dydt = ddefun(t,y,Z), где:

t является временем (независимая переменная).
y является решением (зависимая переменная).
Z(:,j) аппроксимирует задержку $y (t - τ_{j})$ , где постоянная задержка $τ_{j}$ дан lags(j).

Эти входные параметры автоматически передаются функции решателем, но имена переменных определяют, как вы кодируете уравнения. В этом случае:

Z(:,1) $\to y_{1} (t - 1)$
Z(:,2) $\to y_{2} (t - 0.2)$

function dydt = ddex1de(t,y,Z)
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end

Примечание: Все функции включены как локальные функции в конце примера.

История решения кода

Затем, создайте функцию, чтобы задать историю решения. История решения является решением в течение многих времен $t \leq t_{0}$ .

function s = history(t)
  s = ones(3,1);
end

Решите уравнение

Наконец, задайте интервал интегрирования $[t_{0} t_{f}]$ и решите DDE с помощью решателя dde23.

tspan = [0 5];
sol = dde23(@ddefun, lags, @history, tspan);

Постройте решение

sol структуры решения имеет поля sol.x и sol.y, которые содержат внутренние временные шаги, взятые решателем и соответствующими решениями в те времена. (Если вам нужно решение в отдельных моментах, можно использовать deval, чтобы оценить решение в отдельных моментах.)

Постройте эти три компонента решения против времени.

plot(sol.x,sol.y,'-o')
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2','y_3','Location','NorthWest');

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель DDE dde23 вызывает, чтобы вычислить решение. Также можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.

function dydt = ddefun(t,y,Z) % equation being solved
  ylag1 = Z(:,1);
  ylag2 = Z(:,2);

  dydt = [ylag1(1); 
          ylag1(1)+ylag2(2); 
          y(2)];
end
%-------------------------------------------
function s = history(t) % history function for t <= 0
  s = ones(3,1);
end
%-------------------------------------------

Смотрите также

dde23 | ddensd | ddesd | deval

Документация