Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом (DDEs) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, которые связывают решение в текущее время к решению в прошлые разы. Эта задержка может быть постоянной, зависящей от времени, состояния зависимой, или производно-зависимой. Для интегрирования, чтобы начаться, обычно необходимо предоставлять историю решения так, чтобы решение было доступно для решателя в течение многих времен перед начальной точкой интеграции.
Система дифференциальных уравнений с постоянными задержками имеет форму:
Здесь, t является независимой переменной, y является вектор-столбцом зависимых переменных, и y ′ представляет первую производную y относительно t. Задержки, τ 1, …, τ k, являются положительными константами.
Функция dde23 решает DDEs с постоянными задержками с историей y (t) = S (t) для t <t 0.
Решения DDEs обычно непрерывны, но у них есть разрывы в их производных. Функция dde23 отслеживает разрывы в производных младшего разряда. Это интегрирует дифференциальные уравнения с то же явное Рунге-Кутта (2,3) пара и interpolant, используемый ode23. Формулы Рунге-Кутта неявны для размеров шага, больше, чем задержки. Когда y (t) достаточно сглажен, чтобы выровнять по ширине шаги это большое, неявные формулы оценены итерацией корректора предиктора.
Постоянные задержки являются особым случаем более общей формы DDE:
Зависящие от времени и DDEs состояния зависимые включают, задерживает dy 1..., dy k, который может зависеть и от времени t и утвердить y. Задержки dy j (t, y) должен удовлетворить dy j (t, y) ≤ t на интервале [t 0, t f] с t 0 <t f.
Функция ddesd находит решение, y (t), для зависящего от времени и DDEs состояния зависимого с историей y (t) = S (t) для t <t 0. Функция ddesd объединяется с четырехэтапной классикой, четвертый порядок явный Метод Рунге-Кутта, и это управляет размером невязки естественного interpolant. Это использует итерацию, чтобы предпринять шаги, которые более длинны, чем задержки.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом нейтрального типа включают задержки y ′, а также y:
Задержки решения должны удовлетворить dy i (t, y) ≤ t. Задержки первой производной должны удовлетворить dyp j (t, y) <t так, чтобы y ′ не появлялся с обеих сторон уравнения.
Функция ddensd решает DDEs нейтрального типа путем приближения их с DDEs формы, данной для зависящих от времени и задержек состояния зависимых:
Для получения дополнительной информации смотрите Шемпина [1].
Используйте функцию deval и вывод от любого из решателей DDE, чтобы оценить решение в отдельных моментах в интервале интегрирования. Например, y = deval(sol, 0.5*(sol.x(1) + sol.x(end))) оценивает решение в средней точке интервала интегрирования.
Когда вы решаете DDE, вы аппроксимируете решение через определенный интервал [t 0, tf] с t 0 < tf. DDEs показывают, как y ′ (t) зависит от значений решения (и возможно его производная) время от времени до t. Например, с постоянными задержками y ′ (t 0) зависит от y (t 0 – τ 1), …, y (t 0 – τ k) для положительных констант τ j. Из-за этого, решения на [t 0, t k] зависит от значений, это имеет в t ≤ t 0. Необходимо задать эти значения с функцией истории, y (t) = S (t) для t <t 0.
Если ваша проблема имеет разрывы, лучше передавать их к решателю с помощью структуры опций. Для этого используйте функцию ddeset, чтобы создать структуру options, содержащую разрывы в вашей проблеме.
Существует три свойства в структуре options, которую можно использовать, чтобы задать разрывы; InitialY, Jumps и Events. Свойство, которое вы выбираете, зависит от местоположения и природы разрывов.
Природа разрыва | Свойство | Комментарии |
|---|---|---|
В начальном значении t = t 0 |
| Обычно начальное значение, y (t 0) является значением S (t 0) возвращенный функцией истории, означая решение, непрерывно в начальной точке. Если дело обстоит не так, предоставьте различное начальное значение с помощью свойства |
В истории, т.е. решении в t <t 0, или в коэффициентах уравнения для t> t 0 |
| Предоставьте известным местоположениям t разрывов в векторе как значение свойства |
Зависимый состояния |
|
|
Обычно первая производная решения имеет скачок в начальной точке. Это вызвано тем, что первая производная функции истории, S (t), обычно не удовлетворяет DDE в этой точке. Разрыв в любой производной y (t) распространяет в будущее при интервалах τ 1, …, τ k, когда задержки являются постоянными. Если задержки не являются постоянными, распространение разрывов более сложно. Для нейтрального DDEs форм в Постоянной Задержке DDEs и Зависящий от времени и DDEs состояния Зависимый, разрыв появляется в следующей производной высшего порядка каждый раз, когда это распространено. В этом смысле решение становится более сглаженным, в то время как интегрирование продолжает. Решения нейтрального DDEs формы, данной в DDEs Нейтрального Типа, качественно отличаются. Разрыв в решении не распространяет к производной высшего порядка. В частности, типичный скачок в y ′ (t) в t 0 распространяет как скачки в y ′ (t) повсюду [t 0, t f].
Несколько доступных файлов в качестве примера служат превосходными отправными точками для наиболее распространенных проблем DDE. Чтобы легко исследовать и запустить примеры, просто используйте приложение Дифференциальных уравнений В качестве примера. Чтобы запустить это приложение, ввести
odeexamples
edit exampleFileName.mexampleFileName
Эта таблица содержит список доступных файлов DDE в качестве примера, а также решатели и опции, которые они используют.
Файл в качестве примера | Используемый решатель | Заданные опции | Описание | Ссылка в качестве примера |
|---|---|---|---|---|
|
| — | DDE с постоянной историей | |
|
|
| DDE с разрывом | |
|
| — | DDE с задержками состояния зависимыми | |
|
| — | Нейтральный DDE с двумя задержками | |
|
| — | Нейтральный DDE с начальным значением |
[1] Шемпин, L.F. “Диссипативные Приближения к Нейтральному DDEs”. Applied Mathematics & Computation, Издание 203, 2008, стр 641–648.
dde23 | ddensd | ddesd | ddeset