Документация

Используя delaunay и функции delaunayn

delaunay и функции delaunayn берут набор точек и производят триангуляцию в матричном формате. Обратитесь к Матричному Формату Триангуляции для получения дополнительной информации об этой структуре данных. В 2D функция delaunay часто используется, чтобы произвести триангуляцию, которая может использоваться, чтобы построить поверхность, заданную с точки зрения набора точек данных, имеющий разброс. В этом приложении важно отметить, что этот подход может только использоваться, если поверхность однозначна. Например, это не могло использоваться, чтобы построить сферическую поверхность, потому что существует два значения z, соответствующие синглу (x, y) координата. Простой пример демонстрирует, как функция delaunay может использоваться, чтобы построить поверхность, представляющую набор выборочных данных.

Этот пример показывает, как использовать функцию delaunay, чтобы создать 2D Триангуляцию Делоне из набора данных подводной горы. Подводная гора является подводной горой. Набор данных состоит из набора долготы (x) и широта (y) местоположения и соответствующие повышения подводной горы (z), измеренный в тех координатах.

Загрузите набор данных подводной горы и просмотрите (x, y) данные как график рассеивания.

load seamount
plot(x,y,'.','markersize',12)
xlabel('Longitude'), ylabel('Latitude')
grid on

Создайте Триангуляцию Делоне из этого набора точки и используйте triplot, чтобы построить триангуляцию в существующей фигуре.

tri = delaunay(x,y);
hold on, triplot(tri,x,y), hold off

Добавьте данные о глубине (z) с подводной горы, чтобы снять вершины и создать поверхность. Создайте новую фигуру и используйте trimesh, чтобы построить поверхность в каркасном режиме.

figure
hidden on
trimesh(tri,x,y,z)
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude'),zlabel('Depth in Feet');

Если вы хотите построить поверхность в теневом режиме, используйте trisurf вместо trimesh.

3-D Триангуляция Делоне также может быть создана с помощью функции delaunay. Эта триангуляция состоит из тетраэдров.

Этот пример показывает, как создать 3-D Триангуляцию Делоне случайного набора данных. Триангуляция построена с помощью tetramesh, и опция FaceAlpha добавляет прозрачность в график.

X = gallery('uniformdata',[30 3],0);
tet = delaunay(X);
faceColor  = [0.6875 0.8750 0.8984];
tetramesh(tet,X,'FaceColor', faceColor,'FaceAlpha',0.3);

MATLAB обеспечивает функцию delaunayn, чтобы поддержать создание Триангуляций Делоне в размерности 4-D и выше. Две дополнительных функции tsearchn и dsearchn также обеспечиваются, чтобы поддержать пространственный поиск триангуляций N-D. Смотрите Пространственный Поиск для получения дополнительной информации об основанном на триангуляции поиске.

Используя Класс delaunayTriangulation

Класс delaunayTriangulation обеспечивает другой способ создать Триангуляции Делоне в MATLAB. В то время как delaunay и delaunayTriangulation используют тот же базовый алгоритм и производят ту же триангуляцию, delaunayTriangulation предоставляет дополнительные методы, которые полезны для разработки находящихся в Delaunay алгоритмов. Эти методы похожи на функции, которые группированы вместе с данными о триангуляции в контейнер, названный классом. Держание вместе всего в классе обеспечивает более организованную настройку, которая улучшает простоту использования. Это также улучшает производительность основанных на триангуляции поисковых запросов, таких как местоположение точки и ближайшего соседа. delaunayTriangulation поддерживает инкрементное редактирование Триангуляции Делоне. Также можно наложить ограничения ребра в 2D.

Представления триангуляции вводят класс triangulation, который поддерживает топологические и геометрические запросы для 2D и 3-D триангуляций. delaunayTriangulation является специальным видом triangulation. Это означает, что можно выполнить любой запрос triangulation на delaunayTriangulation в дополнение к Delaunay-специфичным запросам. В более формальных терминах языка MATLAB delaunayTriangulation является подклассом triangulation.

Этот пример показывает, как создать, запросить, и отредактировать Триангуляцию Делоне от данных seamount с помощью delaunayTriangulation. Набор данных подводной горы содержит (x, y) местоположения и соответствующие повышения (z), которые задают поверхность подводной горы.

Загрузите и триангулируйте (x, y) данные.

load seamount
DT = delaunayTriangulation(x,y)

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [294x2 double]
    ConnectivityList: [566x3 double]
         Constraints: []

Свойство Constraints пусто, потому что нет никаких наложенных ограничений ребра. Свойство Points представляет координаты вершин, и свойство ConnectivityList представляет треугольники. Вместе, эти два свойства задают матричные данные для триангуляции.

Класс delaunayTriangulation является оберткой вокруг матричных данных, и это предлагает набор дополнительных методов. Вы получаете доступ к свойствам в delaunayTriangulation таким же образом, вы получаете доступ к полям struct.

Доступ к данным о вершине.

DT.Points;

Доступ к данным о возможности соединения.

DT.ConnectivityList;

Доступ к первому треугольнику в свойстве ConnectivityList.

DT.ConnectivityList(1,:)

ans = 1×3

   205   230   262

delaunayTriangulation обеспечивает простой способ индексировать в матрицу свойства ConnectivityList.

Доступ к первому треугольнику.

DT(1,:)

ans = 1×3

   205   230   262

Исследуйте первую вершину первого треугольника.

DT(1,1)

ans = 205

Исследуйте все треугольники в триангуляции.

DT(:,:);

Индексируя в delaunayTriangulation вывод, DT, работает как индексация в массив триангуляции вывод от delaunay. Различием между этими двумя являются дополнительные методы, что можно обратиться к DT (например, nearestNeighbor и pointLocation).

Используйте triplot, чтобы построить delaunayTriangulation. Функция triplot не является методом delaunayTriangulation, но она принимает и может построить delaunayTriangulation.

triplot(DT); 
axis equal
xlabel('Longitude'), ylabel('Latitude')
grid on

Также вы могли использовать triplot(DT(:,:), DT.Points(:,1), DT.Points(:,2));, чтобы получить тот же график.

Используйте метод delaunayTriangulation, convexHull, чтобы вычислить выпуклую оболочку и добавить его в график. Поскольку у вас уже есть Триангуляция Делоне, этот метод позволяет вам выводить выпуклую оболочку более эффективно, чем полное вычисление с помощью convhull.

hold on
k = convexHull(DT);
xHull = DT.Points(k,1);
yHull = DT.Points(k,2);
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
hold off

Можно инкрементно отредактировать delaunayTriangulation, чтобы добавить или удалить точки. Если необходимо добавить точки в существующую триангуляцию, то инкрементное сложение быстрее, чем полная перетриангуляция увеличенного набора точки. Инкрементное удаление точек более эффективно, когда число точек, которое будет удалено, является маленьким относительно существующего числа точек.

Отредактируйте триангуляцию, чтобы удалить точки на выпуклой оболочке от предыдущего вычисления.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on

% The convex hull topology duplicates the start and end vertex.
% Remove the duplicate entry.
k(end) = [];

% Now remove the points on the convex hull.
DT.Points(k,:) = []

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [274x2 double]
    ConnectivityList: [528x3 double]
         Constraints: []

% Plot the new triangulation.
hold on
triplot(DT); 
hold off

Существует одна вершина, которая является только в контуре выпуклой оболочки, которая не была демонтирована. То, что это является внутренним к оболочке, видно с помощью инструмента Zoom-In в фигуре. Вы могли построить метки вершины, чтобы определить индекс этой вершины и удалить его из триангуляции. Также можно использовать метод nearestNeighbor, чтобы идентифицировать индекс с большей готовностью.

Точка близко к местоположению (211.6,-48.15). Используйте nearestNeighbor метод, чтобы найти самую близкую вершину.

vertexId = nearestNeighbor(DT, 211.6, -48.15)

vertexId = 50

Теперь удалите ту вершину из триангуляции.

DT.Points(vertexId,:) = []

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [273x2 double]
    ConnectivityList: [525x3 double]
         Constraints: []

Постройте новую триангуляцию.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Добавьте точки в существующую триангуляцию. Добавьте 4 точки, чтобы сформировать прямоугольник вокруг триангуляции.

Padditional = [210.9 -48.5; 211.6 -48.5; ...
     211.6 -47.9; 210.9 -47.9];
DT.Points(end+(1:4),:) = Padditional

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [277x2 double]
    ConnectivityList: [548x3 double]
         Constraints: []

Закройте все существующие фигуры.

close all

Постройте новую триангуляцию.

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Можно отредактировать точки в триангуляции, чтобы переместить их в новое местоположение. Отредактируйте первый из дополнительного набора точки (вершина ID 274).

DT.Points(274,:) = [211 -48.4];

Закройте все существующие фигуры.

close all

Постройте новую триангуляцию

figure
plot(xHull,yHull,'r','LineWidth',2); 
axis equal
xlabel('Longitude'),ylabel('Latitude')
grid on
hold on
triplot(DT); 
hold off

Используйте метод класса triangulation, vertexAttachments, чтобы найти присоединенные треугольники. Поскольку количество треугольников, присоединенных к вершине, является переменным, метод возвращает присоединенные треугольные идентификаторы в массиве ячеек. Вам нужны фигурные скобки, чтобы извлечь содержимое.

attTris = vertexAttachments(DT,274);
hold on
triplot(DT(attTris{:},:),DT.Points(:,1),DT.Points(:,2),'g')
hold off

delaunayTriangulation также может использоваться, чтобы триангулировать точки на 3-D пробеле. Получившаяся триангуляция состоит из тетраэдров.

Этот пример показывает, как использовать delaunayTriangulation, чтобы создать и построить триангуляцию 3-D точек.

P = gallery('uniformdata',30,3,0);
DT = delaunayTriangulation(P)

DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [30x3 double]
    ConnectivityList: [117x4 double]
         Constraints: []

faceColor  = [0.6875 0.8750 0.8984];
tetramesh(DT,'FaceColor', faceColor,'FaceAlpha',0.3);

Графики функций tetramesh и внутренние и внешние поверхности триангуляции. Для больших 3-D триангуляций, строя внутренние поверхности может быть ненужное использование ресурсов. График граничной силы быть более соответствующим. Можно использовать метод freeBoundary, чтобы получить граничную триангуляцию в матричном формате. Затем передайте результат trimesh или trisurf.

Ограниченная триангуляция Делоне

Класс delaunayTriangulation позволяет вам ограничивать ребра в 2D триангуляции. Это означает, что можно выбрать пару точек в триангуляции и ограничить ребро соединять те точки. Можно изобразить это как “принуждение” ребра между одной или несколькими парами точек. Следующий пример показывает, как ограничения ребра могут влиять на триангуляцию.

Триангуляцией ниже является Триангуляция Делоне, потому что она уважает пустой критерий описанного круга.

Триангулируйте набор точек с ограничением ребра, заданным между вершиной V1 и V3.

Задайте набор точки.

P = [2 4; 6 1; 9 4; 6 7];

Задайте ограничение, C, между V1 и V3.

C = [1 3];
DT = delaunayTriangulation(P,C);

Постройте триангуляцию и добавьте аннотации.

triplot(DT)

% Label the vertices.
hold on
numvx = size(P,1);
vxlabels = arrayfun(@(n) {sprintf('V%d', n)}, (1:numvx)');
Hpl = text(P(:,1)+0.2, P(:,2)+0.2, vxlabels, 'FontWeight', ...
  'bold', 'HorizontalAlignment','center', 'BackgroundColor', ...
  'none');
hold off


% Use the incenters to find the positions for placing triangle labels on the plot.
hold on
IC = incenter(DT);
numtri = size(DT,1);
trilabels = arrayfun(@(P) {sprintf('T%d', P)}, (1:numtri)');
Htl = text(IC(:,1),IC(:,2),trilabels,'FontWeight','bold', ...
'HorizontalAlignment','center','Color','blue');
hold off

% Plot the circumcircle associated with the triangle, T1.
hold on
[CC,r] = circumcenter(DT);
theta = 0:pi/50:2*pi;
xunit = r(1)*cos(theta) + CC(1,1);
yunit = r(1)*sin(theta) + CC(1,2);
plot(xunit,yunit,'g');
axis equal
hold off

Ограничение между вершинами (V1, V3) соблюдалось, однако, критерий Delaunay делался недействительным. Это также делает недействительным отношение ближайшего соседа, которое свойственно от Триангуляции Делоне. Это означает, что метод поиска nearestNeighbor, обеспеченный delaunayTriangulation, не может поддерживаться, если триангуляция имеет ограничения.

В типовых приложениях триангуляция может состоять из многих точек, и относительно небольшое количество ребер в триангуляции может быть ограничено. Такая триангуляция, как говорят, локально non-Delaunay, потому что много треугольников в триангуляции могут уважать критерий Delaunay, но локально могут быть некоторые треугольники, которые не делают. Во многих приложениях локальная релаксация пустого свойства описанного круга не является беспокойством.

Ограниченные триангуляции обычно используются, чтобы триангулировать невыпуклый полигон. Ограничения дают нам соответствие между ребрами полигона и ребрами триангуляции. Это отношение позволяет вам извлечь триангуляцию, которая представляет область. Следующий пример показывает, как использовать ограниченный delaunayTriangulation, чтобы триангулировать невыпуклый полигон.

Задайте и постройте полигон.

figure()
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
P = [0 0; 16 0; 16 2; 2 2; 2 3; 8 3; 8 5; 0 5];
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2,'FaceColor',...
     'none','EdgeColor','r');
 
% Label the points.
hold on
numvx = size(P,1);
vxlabels = arrayfun(@(n) {sprintf('P%d', n)}, (1:numvx)');
Hpl = text(P(:,1)+0.2, P(:,2)+0.2, vxlabels, 'FontWeight', ...
  'bold', 'HorizontalAlignment','center', 'BackgroundColor', ...
  'none');
hold off

Создайте и постройте триангуляцию вместе с контуром полигона.

figure()
subplot(2,1,1);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal

P = [0 0; 16 0; 16 2; 2 2; 2 3; 8 3; 8 5; 0 5];
DT = delaunayTriangulation(P);
triplot(DT)
hold on; 
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2,'FaceColor',...
     'none','EdgeColor','r');
hold off

% Plot the standalone triangulation in a subplot.
subplot(2,1,2);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)

Эта триангуляция не может использоваться, чтобы представлять область полигона, потому что некоторые треугольники сокращали через контур. Необходимо наложить ограничение на ребра, которые сокращаются ребрами триангуляции. Поскольку все ребра нужно уважать, необходимо ограничить все ребра. Шаги ниже показа, как ограничить все ребра.

Введите ограниченное определение ребра. Наблюдайте от аннотируемой фигуры, где вам нужны ограничения (между (V1, V2), (V2, V3), и так далее).

C = [1 2; 2 3; 3 4; 4 5; 5 6; 6 7; 7 8; 8 1];

В целом, если у вас есть точки N в последовательности, которые задают многоугольный контур, ограничения могут быть выражены как C = [(1:(N-1))' (2:N)'; N 1];.

Задайте ограничения, когда вы создадите delaunayTriangulation.

DT = delaunayTriangulation(P,C);

Также можно наложить ограничения на существующую триангуляцию путем установки свойства Constraints: DT.Constraints = C;.

Постройте триангуляцию и полигон.

figure('Color','white')
subplot(2,1,1);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)
hold on; 
patch(P(:,1),P(:,2),'-r','LineWidth',2, ...
     'FaceColor','none','EdgeColor','r'); 
hold off

% Plot the standalone triangulation in a subplot.
subplot(2,1,2);
axis([-1 17 -1 6]);
axis equal
triplot(DT)

График показывает, что ребра триангуляции уважают контур полигона. Однако триангуляция заполняет вогнутости. То, что необходимо, является триангуляцией, которая представляет многоугольную область. Можно извлечь треугольники в полигоне с помощью метода delaunayTriangulation, isInterior. Этот метод возвращает логический массив, true которого и значения false, которые указывают, являются ли треугольники в ограниченной геометрической области. Анализ основан на теореме Кривой Жорданы, и контуры заданы ограничениями ребра. ith треугольник в триангуляции считается в области, если ith логический флаг верен, в противном случае это снаружи.

Теперь используйте метод isInterior, чтобы вычислить и построить набор доменных треугольников.

% Plot the constrained edges in red.
figure('Color','white')
subplot(2,1,1);
plot(P(C'),P(C'+size(P,1)),'-r','LineWidth', 2);
axis([-1 17 -1 6]);

% Compute the in/out status.
IO = isInterior(DT);
subplot(2,1,2);
hold on;
axis([-1 17 -1 6]);

% Use triplot to plot the triangles that are inside.
% Uses logical indexing and dt(i,j) shorthand
% format to access the triangulation.
triplot(DT(IO, :),DT.Points(:,1), DT.Points(:,2),'LineWidth', 2)
hold off;