DDE начального значения нейтрального типа

Этот пример показывает, как использовать ddensd, чтобы решить систему начального значения DDEs (дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом) с зависящими от времени задержками. Пример был первоначально представлен Jackiewicz [1].

Уравнение

$y^{'} (t) = 2 потому что (2 t) {y (\frac{t}{2})}^{2 потому что (t)} + журнал (y^{'} (\frac{t}{2})) - журнал (2 потому что (t)) - \sin (t) .$

Это уравнение является DDE начального значения, потому что задержки являются нулем в $t_{0}$ . Поэтому история решения является ненужной, чтобы вычислить решение, только начальные значения необходимы:

$y (0) = 1,$

$y^{'} (0) = s .$

$s$ решение $2 + журнал (s) - журнал (2) = 0$ . Значения $s$ это удовлетворяет этому уравнению, $s_{1} = 2$ и $s_{2} = 0.4063757399599599$ .

Поскольку задержки уравнений присутствуют в a $y^{'}$ назовите, это уравнение называется нейтральным DDE.

Чтобы решить это уравнение в MATLAB, необходимо закодировать уравнение и задержки прежде, чем вызвать решатель дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом ddensd, который является решателем для нейтральных уравнений. Вы любой может включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные файлы в директории на пути MATLAB.

Задержки кода

Во-первых, запишите анонимную функцию, чтобы задать задержки уравнения. Начиная с обоих $y$ и $y^{'}$ имейте задержки формы $\frac{t}{2}$ , только одно функциональное определение требуется. Эта функция задержки позже передается решателю дважды, однажды чтобы указать на задержку $y$ и однажды для $y^{'}$ .

delay = @(t,y) t/2;

Уравнение кода

Теперь, создайте функцию, чтобы закодировать уравнение. Эта функция должна иметь подпись yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel), где:

t является временем (независимая переменная).
y является решением (зависимая переменная).
ydel содержит задержки y.
ypdel содержит задержки $y^{'} = \frac{dy}{dt}$ .

Эти входные параметры автоматически передаются функции решателем, но имена переменных определяют, как вы кодируете уравнение. В этом случае:

ydel $\to y (\frac{t}{2})$
ypdel $\to y^{'} (\frac{t}{2})$

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) 
   yp = 2*cos(2*t)*ydel^(2*cos(t)) + log(ypdel) - log(2*cos(t)) - sin(t);
end

Примечание: Все функции включены как локальные функции в конце примера.

Решите уравнение

Наконец, задайте интервал интегрирования $[t_{0} t_{f}]$ и начальные значения, и затем решают DDE с помощью решателя ddensd. Передайте начальные значения решателю путем определения их в массиве ячеек в четвертом входном параметре.

tspan = [0 0.1];
y0 = 1;
s1 = 2;
sol1 = ddensd(@ddefun, delay, delay, {y0,s1}, tspan);

Решите уравнение во второй раз, на этот раз с помощью альтернативного значения $s$ для начального условия.

s2 = 0.4063757399599599;
sol2 = ddensd(@ddefun, delay, delay, {y0,s2}, tspan);

Постройте решение

sol1 структур решения и sol2 имеют поля x и y, которые содержат внутренние временные шаги, взятые решателем и соответствующими решениями в те времена. Однако можно использовать deval, чтобы оценить решение в отдельных моментах.

Постройте эти два решения сравнить результаты.

plot(sol1.x,sol1.y,sol2.x,sol2.y);
legend('y''(0) = 2','y''(0) = .40637..','Location','NorthWest');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
title('Two Solutions of Jackiewicz''s Initial-Value NDDE');

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель DDE ddensd вызывает, чтобы вычислить решение. Также можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) 
   yp = 2*cos(2*t)*ydel^(2*cos(t)) + log(ypdel) - log(2*cos(t)) - sin(t);
end

Ссылки

[1] Jackiewicz, Z. “Методы шага любого Порядка для Нейтральных Функциональных Дифференциальных уравнений”. SIAM Journal согласно Числовому Анализу. Издание 21, Номер 3. 1984. стр 486–511.

Смотрите также

dde23 | ddensd | ddesd | deval

Документация