Сингулярные значения

singular value и соответствующим singular vectors прямоугольного матричного A является, соответственно, скалярный σ и пара векторов u и v, которые удовлетворяют

$\begin{array}{l} A v = σ u \\ A^{H} u = σ v, \end{array}$

где $A^{H}$ Эрмитово, транспонируют A. Сингулярные векторы u и v обычно масштабируются, чтобы иметь норму 1. Кроме того, если u и v являются сингулярными векторами A, то -u и -v являются сингулярными векторами A также.

Сингулярные значения σ является всегда действительным и неотрицательным, даже если A является комплексным. С сингулярными значениями на диагонали диагонального матричного Σ и соответствующих сингулярных векторов, формирующих столбцы двух ортогональных матриц U и V, вы получаете уравнения

$\begin{array}{l} A V = U Σ \\ A^{H} U = V Σ . \end{array}$

Поскольку U и V являются унитарными матрицами, умножая первое уравнение на $V^{H}$ на праве приводит к уравнению сингулярного разложения

$A = U Σ V^{H} .$

Полное сингулярное разложение m-by-n матрица включает m-by-m U, m-by-n Σ и n-by-n V. Другими словами, U и V являются и квадратом, и Σ одного размера как A. Если A имеет намного больше строк, чем столбцы (m > n), то получившийся m-by-m матричный U является большим. Однако большинство столбцов в U умножается на нули в Σ. В этой ситуации разложение размера экономики экономит и время и устройство хранения данных путем создания m-by-n U, n-by-n Σ и тот же V:

Разложение собственного значения является соответствующим инструментом для анализа матрицы, когда это представляет отображение от векторного пространства в себя, как это делает для обыкновенного дифференциального уравнения. Однако сингулярное разложение является соответствующим инструментом для анализа отображения от одного векторного пространства в другое векторное пространство, возможно с различной размерностью. Большинство систем одновременных линейных уравнений попадает в эту вторую категорию.

Если A является квадратным, симметричным, и положительный определенный, то его собственное значение и сингулярные разложения являются тем же самым. Но, когда A вылетает от симметрии и положительной определенности, различия между этими двумя увеличениями разложений. В частности, сингулярное разложение действительной матрицы всегда действительно, но разложение собственного значения действительной, несимметричной матричной силы быть комплексным.

Для матрицы в качестве примера

полное сингулярное разложение

[U,S,V] = svd(A)

U =

    0.6105   -0.7174    0.3355
    0.6646    0.2336   -0.7098
    0.4308    0.6563    0.6194


S =

   14.9359         0
         0    5.1883
         0         0


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

Можно проверить, что U*S*V' равен A к в ошибке округления. Для этой небольшой проблемы разложение размера экономики незначительно меньше.

[U,S,V] = svd(A,0)

U =

    0.6105   -0.7174
    0.6646    0.2336
    0.4308    0.6563


S =

   14.9359         0
         0    5.1883


V =

    0.6925   -0.7214
    0.7214    0.6925

Снова, U*S*V' равен A к в ошибке округления.

Если матричный A является большим и разреженным, то использование svd, чтобы вычислить все сингулярные значения и векторы не всегда практично. Например, если необходимо знать, что всего несколько самых больших сингулярных значений, затем вычисляя все сингулярные значения 5000 5000 разреженной матрицы являются большой дополнительной работой. В случаях, где только подмножество сингулярных значений и векторов требуется, функция svds предпочтена по svd.

Для случайной разреженной матрицы 1000 на 1000 с плотностью приблизительно 30%,

n = 1000;
A = sprand(n,n,0.3);

шесть самых больших сингулярных значений

S = svds(A)

S =

  130.2184
   16.4358
   16.4119
   16.3688
   16.3242
   16.2838

Кроме того, шесть самых маленьких сингулярных значений

S = svds(A,6,'smallest')

S =

    0.0740
    0.0574
    0.0388
    0.0282
    0.0131
    0.0066

Для меньших матриц, которые могут уместиться в памяти как полная матрица, full(A), с помощью svd(full(A)) может все еще быть более быстрым, чем svds. Однако для действительно большого и разреженных матриц, с помощью svds становится необходимым.

Смотрите также

gsvd | svd | svds

Документация

Сингулярные значения

Смотрите также

Похожие темы

Документация MATLAB

Поддержка