Собственное значение и собственный вектор квадратной матрицы, A является, соответственно, скалярный λ и ненулевой векторный υ, которые удовлетворяют
Aυ = λυ.
С собственными значениями на диагонали диагональной матрицы Λ и соответствующие собственные вектора, формирующие столбцы матричного V, вы имеете
AV = VΛ.
Если V несингулярен, это становится разложением собственного значения
A = VΛV –1.
Хорошим примером является матрица коэффициентов этого обыкновенного дифференциального уравнения:
A =
0 -6 -1
6 2 -16
-5 20 -10Оператор
lambda = eig(A)производит вектор-столбец, содержащий собственные значения. Для этой матрицы собственные значения являются комплексными:
lambda =
-3.0710
-2.4645+17.6008i
-2.4645-17.6008iДействительная часть каждого из собственных значений отрицательна, таким образом, e λ нуль подходов t как t увеличивается. Ненулевая мнимая часть двух из собственных значений, ±ω, вносит колебательный компонент, sin (ω t), к решению дифференциального уравнения.
С двумя выходными аргументами eig вычисляет собственные вектора и хранит собственные значения в диагональной матрице:
[V,D] = eig(A)
V =
-0.8326 0.2003 - 0.1394i 0.2003 + 0.1394i
-0.3553 -0.2110 - 0.6447i -0.2110 + 0.6447i
-0.4248 -0.6930 -0.6930
D =
-3.0710 0 0
0 -2.4645+17.6008i 0
0 0 -2.4645-17.6008iПервый собственный вектор действителен, и другие два вектора являются сопряженными комплексными числами друг друга. Все три вектора нормированы, чтобы иметь Евклидову длину, norm(v,2), равный одному.
matrix V*D*inv(V), который может быть записан более кратко как V*D/V, в ошибке округления A. И, inv(V)*A*V или V\A*V, в ошибке округления of D.
Некоторые матрицы не имеют разложения собственного вектора. Эти матрицы не являются диагонализируемыми. Например:
A = [ 1 -2 1
0 1 4
0 0 3 ]Для этой матрицы
[V,D] = eig(A)
производит
V =
1.0000 1.0000 -0.5571
0 0.0000 0.7428
0 0 0.3714
D =
1 0 0
0 1 0
0 0 3Существует двойное собственное значение в λ = 1. Первые и вторые столбцы V являются тем же самым. Для этой матрицы не существует полный набор линейно независимых собственных векторов.
Много усовершенствованных матричных вычислений не требуют разложений собственного значения. Они базируются, вместо этого, на разложении Шура
A = U S U ′,
где U является ортогональной матрицей, и S является верхней треугольной матрицей блока с блоками 2 на 2 и 1 на 1 на диагонали. Собственные значения показаны диагональными элементами и блоками S, в то время как столбцы U обеспечивают ортогональное основание, которое имеет намного лучшие числовые свойства, чем набор собственных векторов.
Например, сравните собственное значение и разложения Шура этой дефектной матрицы:
A = [ 6 12 19
-9 -20 -33
4 9 15 ];
[V,D] = eig(A)
V =
-0.4741 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i -0.4082 + 0.0000i
0.8127 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i 0.8165 + 0.0000i
-0.3386 + 0.0000i -0.4082 + 0.0000i -0.4082 - 0.0000i
D =
-1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i
0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i
[U,S] = schur(A)
U =
-0.4741 0.6648 0.5774
0.8127 0.0782 0.5774
-0.3386 -0.7430 0.5774
S =
-1.0000 20.7846 -44.6948
0 1.0000 -0.6096
0 0.0000 1.0000Матричный A является дефектным, поскольку он не имеет полного набора линейно независимых собственных векторов (вторые и третьи столбцы V являются тем же самым). С тех пор не все столбцы V линейно независимы, он имеет большое количество условия приблизительно ~1e8. Однако schur может вычислить три различных базисных вектора в U. Поскольку U является ортогональным, cond(U) = 1.
Матричный S имеет действительное собственное значение как первую запись на диагонали и повторном собственном значении, представленном нижним правым блоком 2 на 2. Собственные значения блока 2 на 2 являются также собственными значениями A:
eig(S(2:3,2:3)) ans = 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i