Этот пример использует bvp4c
с двумя различными исходными предположениями, чтобы найти оба решения проблемы BVP.
Рассмотрите дифференциальное уравнение
.
Это уравнение подчиняется граничным условиям
.
Чтобы решить это уравнение в MATLAB, необходимо закодировать уравнение и граничные условия, затем сгенерировать подходящее исходное предположение для решения прежде, чем вызвать решатель для краевой задачи bvp4c
. Вы любой может включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.
Создайте функцию, чтобы закодировать уравнение. Эта функция должна иметь подпись dydx = bvpfun(x,y)
или dydx = bvpfun(x,y,parameters)
, где:
x
является независимой переменной.
y
является решением (зависимая переменная).
parameters
является вектором неизвестных (дополнительных) значений параметров.
Эти входные параметры автоматически передаются функции решателем, но имена переменных определяют, как вы кодируете уравнения. В этом случае можно переписать уравнение второго порядка как систему уравнений первого порядка
,
.
Функция, кодирующая эти уравнения,
function dydx = bvpfun(x,y) dydx = [y(2) -exp(y(1))]; end
Для условий граничного значения 2D точки как те в этой проблеме функция граничных условий должна иметь подпись res = bcfun(ya,yb)
или res = bcfun(ya,yb,parameters)
, в зависимости от того, включены ли неизвестные параметры. ya
и yb
являются вектор-столбцами, которые решатель автоматически передает функции, и bcfun
возвращает невязку в граничных условиях.
Для граничных условий , функция bcfun
указывает, что остаточное значение является нулем на обоих контурах. Эти остаточные значения осуществляются в первых и последних точках mesh, что вы задаете к bvpinit
в вашем исходном предположении. Начальная mesh в этой проблеме должна иметь x(1) = 0
и x(end) = 1
.
function res = bcfun(ya,yb) res = [ya(1) yb(1)]; end
Вызовите bvpinit
, чтобы сгенерировать исходное предположение решения. Mesh для x
не должна иметь большого количества точек, но первая точка должна быть 0. Затем последняя точка должна быть 1 так, чтобы граничные условия были правильно заданы. Используйте исходное предположение для y
, где первый компонент немного положителен, и второй компонент является нулем.
xmesh = linspace(0,1,5); solinit = bvpinit(xmesh, [0.1 0]);
Решите BVP использование решателя bvp4c
.
sol1 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);
Решите BVP во второй раз с помощью различного исходного предположения для решения.
solinit = bvpinit(xmesh, [3 0]); sol2 = bvp4c(@bvpfun, @bcfun, solinit);
Постройте решения, которые bvp4c
вычисляет для различных начальных условий. Оба решения удовлетворяют установленные граничные условия, но имеют различный промежуток поведений. Поскольку решение не всегда уникально, различные поведения показывают важность высказывания хорошего исходного предположения для решения.
plot(sol1.x,sol1.y(1,:),'-o',sol2.x,sol2.y(1,:),'-o') title('BVP with Different Solutions That Depend on the Initial Guess') xlabel('x') ylabel('y') legend('Solution 1','Solution 2')
Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель BVP bvp4c
вызывает, чтобы вычислить решение. Также можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.
function dydx = bvpfun(x,y) % equation being solved dydx = [y(2) -exp(y(1))]; end %------------------------------------------- function res = bcfun(ya,yb) % boundary conditions res = [ya(1) yb(1)]; end %-------------------------------------------