bvp5c

Решите краевую задачу — метод пятого порядка

Синтаксис

sol = bvp5c(odefun,bcfun,solinit)

sol = bvp5c(odefun,bcfun,solinit,options)

Описание

sol = bvp5c(odefun,bcfun,solinit) интегрирует систему дифференциальных уравнений формы y ′ =, f (x, y) заданный odefun согласно граничным условиям, описанным bcfun и начальным решением, предполагает solinit. Используйте функцию bvpinit, чтобы создать исходное предположение solinit, который также задает точки, в которых осуществляются граничные условия в bcfun.

пример

sol = bvp5c(odefun,bcfun,solinit,options) также использует настройки интегрирования, заданные options, который является созданным использованием аргумента функции bvpset. Например, используйте AbsTol и опции RelTol, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или опцию FJacobian, чтобы обеспечить аналитические частные производные odefun.

Примеры

свернуть все

Решите BVP второго порядка

Скрипт Open Live Script

Решите BVP второго порядка в MATLAB® с помощью функций. В данном примере используйте уравнение второго порядка

${y^{'}}^{'} + y = 0$ .

Уравнение определено на интервале $[0, π / 2]$ подвергните граничным условиям

$y (0) = 0$ ,

$y (π / 2) = 2$ .

Чтобы решить это уравнение в MATLAB, необходимо записать функцию, которая представляет уравнение как систему уравнений первого порядка, функции для граничных условий и функции для исходного предположения. Затем решатель BVP использует эти три входных параметров, чтобы решить уравнение.

Уравнение кода

Запишите функцию, это кодирует уравнение. Используйте замены $y_{1} = y$ и $y_{2} = y^{'}$ переписать уравнение как систему уравнений первого порядка.

${y_{1}}^{'} = y_{2}$ ,

${y_{2}}^{'} = - y_{1}$ .

Соответствующая функция

function dydx = bvpfcn(x,y)
dydx = zeros(2,1);
dydx = [y(2)
       -y(1)];
end

Примечание: Все функции включены в конце примера как локальные функции.

Граничные условия кода

Запишите функцию, которая кодирует граничные условия в форме $g (y (a), y (b)) = 0$ . В этой форме граничные условия

$y (0) = 0$ ,

$y (π / 2) - 2 = 0$ .

Соответствующая функция

function res = bcfcn(ya,yb)
res = [ya(1)
       yb(1)-2];
end

Создайте исходное предположение

Используйте функцию bvpinit, чтобы создать исходное предположение для решения уравнения. Поскольку уравнение имеет отношение ${y^{'}}^{'}$ к $y$ , разумное предположение - то, что решение включает тригонометрические функции. Используйте сетку пяти точек в интервале интегрирования. Первые и последние значения в mesh - то, где решатель применяет граничные условия.

Функция для исходного предположения принимает $x$ как вход и возвращает предположение для значения $y_{1}$ и $y_{2}$ . Функция

function g = guess(x)
g = [sin(x)
     cos(x)];
end

xmesh = linspace(0,pi/2,5);
solinit = bvpinit(xmesh, @guess);

Решите уравнение

Используйте bvp5c с производной функцией, функцией граничного условия и исходным предположением, чтобы решить проблему.

sol = bvp5c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit);

Постройте решение

plot(sol.x, sol.y, '-o')

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции что использование bvp5c, чтобы решить уравнение.

function dydx = bvpfcn(x,y) % equation to solve
dydx = zeros(2,1);
dydx = [y(2)
       -y(1)];
end
%--------------------------------
function res = bcfcn(ya,yb) % boundary conditions
res = [ya(1)
       yb(1)-2];
end
%--------------------------------
function g = guess(x) % initial guess for y and y'
g = [sin(x)
     cos(x)];
end
%--------------------------------

Сравните решатели `bvp5c` и `bvp4c`

Скрипт Open Live Script

Решите BVP в допуске грубой ошибки с двумя другими решателями и сравните результаты.

Рассмотрите ОДУ второго порядка

${y^{'}}^{'} + \frac{2}{x} y^{'} + \frac{1}{x^{4}} y = 0$ .

Уравнение определено на интервале $[\frac{1}{3 π}, 1]$ подвергните граничным условиям

$y (\frac{1}{3 π}) = 0$ ,

$y (1) = \sin (1)$ .

Чтобы решить это уравнение в MATLAB®, необходимо записать функцию, которая представляет уравнение как систему уравнений первого порядка, запишите функцию для граничных условий, установите некоторые значения опции и создайте исходное предположение. Затем решатель BVP использует эти четыре входных параметров, чтобы решить уравнение.

Уравнение кода

С заменами $y_{1} = y$ и $y_{2} = y^{'}$ , можно переписать ОДУ как систему уравнений первого порядка

${y_{1}}^{'} = y_{2}$ ,

${y_{2}}^{'} = - \frac{2}{x} y_{2} - \frac{1}{x^{4}} y_{1}$ .

Соответствующая функция

function dydx = bvpfcn(x,y)
dydx = [y(2)
       -2*y(2)/x - y(1)/x^4];
end

Примечание: Все функции включены в конце примера как локальные функции.

Граничные условия кода

Функция граничного условия требует, чтобы граничные условия были в форме $g (y (a), y (b)) = 0$ . В этой форме граничные условия

$y (\frac{1}{3 π}) = 0$ ,

$y (1) - \sin (1) = 0$ .

Соответствующая функция

function res = bcfcn(ya,yb)
res = [ya(1)
       yb(1)-sin(1)];
end

Установка опций

Используйте bvpset, чтобы включить отображение статистики решателя и задать допуски грубой ошибки, чтобы подсветить различие в контроле ошибок между решателями. Кроме того, для эффективности задайте аналитический якобиан

$J = \frac{\partial f_{i}}{\partial y} = [\begin{matrix} \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial y_{2}} \\ \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial y_{2}} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ - \frac{1}{x^{4}} & - \frac{2}{x} \end{matrix}]$ .

Соответствующая функция, которая возвращает значение якобиана,

function dfdy = jac(x,y)
dfdy = [0      1
       -1/x^4 -2/x];
end

opts = bvpset('FJacobian',@jac,'RelTol',0.1,'AbsTol',0.1,'Stats','on');

Создайте исходное предположение

Используйте bvpinit, чтобы создать исходное предположение решения. Задайте постоянную функцию как исходное предположение с начальной сеткой 10 точек в интервале $[1 / 3 π, 1]$ .

xmesh = linspace(1/(3*pi), 1, 10);
solinit = bvpinit(xmesh, [1; 1]);

Решите уравнение

Решите уравнение и с bvp4c и с bvp5c.

sol4c = bvp4c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit, opts);

The solution was obtained on a mesh of 9 points.
The maximum residual is  9.794e-02. 
There were 157 calls to the ODE function. 
There were 28 calls to the BC function.

sol5c = bvp5c(@bvpfcn, @bcfcn, solinit, opts);

The solution was obtained on a mesh of 11 points.
The maximum error is  6.742e-02. 
There were 244 calls to the ODE function. 
There were 29 calls to the BC function.

Постройте результаты

Постройте результаты этих двух вычислений для $y_{1}$ с аналитическим решением для сравнения. Аналитическое решение

$y_{1} = \sin (\frac{1}{x})$ ,

$y_{2} = - \frac{1}{x^{2}} потому что (\frac{1}{x})$ .

xplot = linspace(1/(3*pi),1,200);
yplot = [sin(1./xplot); -cos(1./xplot)./xplot.^2];

plot(xplot,yplot(1,:),'k',sol4c.x,sol4c.y(1,:),'r*',sol5c.x,sol5c.y(1,:),'bo')
title('Comparison of BVP Solvers with Crude Error Tolerance')
legend('True','BVP4C','BVP5C')
xlabel('x')
ylabel('solution y')

График подтверждает, что bvp5c непосредственно управляет истинной погрешностью в вычислении, в то время как bvp4c управляет им только косвенно. В более строгих ошибочных допусках это различие между решателями не так очевидно.

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции что использование решателей BVP, чтобы решить проблему.

function dydx = bvpfcn(x,y) % equation to solve
dydx = [y(2)
       -2*y(2)/x - y(1)/x^4];
end
%---------------------------------
function res = bcfcn(ya,yb) % boundary conditions
res = [ya(1)
       yb(1)-sin(1)];
end
%---------------------------------
function dfdy = jac(x,y) % analytical jacobian for f
dfdy = [0      1
       -1/x^4 -2/x];
end
%---------------------------------

Входные параметры

свернуть все

`odefun` Функции, чтобы решить
указатель на функцию

Функции, чтобы решить, заданный как указатель на функцию, который задает функции, которые будут интегрированы. odefun и bcfun должны принять то же количество входных параметров.

Чтобы закодировать odefun, используйте функциональную подпись dydx = odefun(x,y) для скалярного x и вектор-столбца y. dydt возвращаемого значения является вектор-столбцом типа данных single или double, который соответствует f (x, y). odefun должен принять оба входных параметра x и y, даже если один из аргументов не используется в функции.

Например, чтобы решить $y' = 5 y - 3$ , используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = 5*y-3;
end

Для системы уравнений вывод odefun является вектором. Каждый элемент в векторе является решением одного уравнения. Например, чтобы решить

$\begin{array}{l} y'_{1} = y_{1} + 2 y_{2} \\ y'_{2} = 3 y_{1} + 2 y_{2} \end{array}$

используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(1)+2*y(2);
dydt(2) = 3*y(1)+2*y(2);
end

bvp5c также может решить проблемы с особенностями в решении или многоточечных граничных условиях.

Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)

Неизвестные параметры

Если BVP, быть решенным включает неизвестные параметры, вы вместо этого, может использовать функциональную подпись dydx = odefun(x,y,p), где p является вектором значений параметров. Когда вы используете эту функциональную подпись, решатель BVP вычисляет значения неизвестных параметров, начинающих с исходного предположения для значений параметров, обеспеченных в solinit.

Типы данных: function_handle

`bcfun` — Граничные условия
указатель на функцию

Граничные условия, заданные как указатель на функцию, который вычисляет остаточную ошибку в граничных условиях. odefun и bcfun должны принять то же количество входных параметров.

Чтобы закодировать bcfun, используйте функциональную подпись res = bcfun(ya,yb) для вектор-столбцов ya и yb. res возвращаемого значения является вектор-столбцом типа данных single или double, который соответствует остаточному значению граничных условий в граничных точках.

Например, если y(a) = 1 и y(b) = 0, то функция граничного условия

function res = bcfun(ya,yb)
res = [ya(1)-1
       yb(1)];
end

Начиная с y(a) = 1 остаточным значением ya(1)-1 должен быть 0 в точке x = a. Точно так же начиная с y(b) = 0, остаточным значением yb(1) должен быть 0 в точке x = b.

Граничные точки x = a и x = b, где граничные условия осуществляются, заданы в структуре исходного предположения solinit. Для краевых задач 2D точки, a = solinit.x(1) и b = solinit.x(end).

Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)

Неизвестные параметры

Если BVP, быть решенным включает неизвестные параметры, вы вместо этого, может использовать функциональную подпись res = bcfun(ya,yb,p), где p является вектором значений параметров. Когда вы используете эту функциональную подпись, решатель BVP вычисляет значения неизвестных параметров, начинающих с исходного предположения для значений параметров, обеспеченных в solinit.

Типы данных: function_handle

`solinit` — Исходное предположение решения
структура

Исходное предположение решения, заданного как структура. Используйте bvpinit, чтобы создать solinit.

В отличие от задач с начальными значениями, краевая задача не может иметь никакого решения, конечного числа решений, или бесконечно многих решений. Важная часть процесса решения BVP обеспечивает предположение для требуемого решения. Качество этого предположения может быть очень важным для производительности решателя и даже для успешного вычисления. Для некоторых инструкций по созданию хорошего исходного предположения смотрите Исходное предположение Решения.

Пример: sol = bvp5c(@odefun, @bcfun, solinit)

Типы данных: struct

`опции` Структура опции
структура

Структура опции. Используйте функцию bvpset, чтобы создать или изменить структуру опций.

Пример: options = bvpset('RelTol',1e-5,'Stats','on') задает допуск относительной погрешности 1e-5 и включает отображение статистики решателя.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

`sol - структура Решения`
структура

Структура решения. Можно получить доступ к полям в sol с индексацией точки, таким как sol.field1. Решение (sol.x, sol.y) непрерывно на интервале интегрирования, заданного в начальной mesh solinit.x, и имеет непрерывную первую производную там. Можно использовать sol с функцией deval, чтобы оценить решение в других точках в интервале.

Структура sol имеет эти поля.

Поле	Описание
`x`	Mesh выбрана `bvp5c`. Эта mesh обычно содержит различные точки, чем начальная mesh `solinit.x`.
`y`	Приближение к y (x) в точках mesh `sol.x`.
`yp`	Приближение к y ′ (x) в точках mesh `sol.x`.
`parameters`	Окончательные значения для неизвестных параметров заданы в `solinit.parameters`.
`solver`	`'bvp5c'`
`stats`	Вычислительная статистика стоимости связана с решением: количество точек mesh, остаточной ошибки и количества вызовов `odefun` и `bcfun`.

Больше о

свернуть все

Многоточечные Краевые задачи

Для многоточечных краевых задач граничные условия осуществляются в нескольких точках в интервале интегрирования.

bvp5c может решить многоточечные краевые задачи, где a = a ₀ < a ₁ < a ₂ < ... < a _n = b является граничными точками в интервале [a, b]. Точки a ₁, a ₂... ,a _{n −1} представляет интерфейсы, которые делят [a, b] в области. bvp5c перечисляет области слева направо (от a до b) с индексами, запускающимися от 1. В области k, [a _{k −1}, a _k], bvp5c оценивает производную как

yp = odefun(x,y,k)

В функции граничных условий bcfun(yleft,yright) yleft(:,k) является решением на левом контуре [a _{k −1}, a _k]. Точно так же yright(:,k) является решением на правильном контуре области k. В частности, yleft(:,1) = y(a) и yright(:,end) = y(b).

Когда вы создадите исходное предположение с bvpinit, используйте двойные записи в xinit для каждой интерфейсной точки. Смотрите страницу с описанием для bvpinit для получения дополнительной информации.

Если yinit является функцией, bvpinit вызывает y = yinit(x,k), чтобы получить исходное предположение для решения в x в области k. В структуре решения sol, возвращенный bpv4c, sol.x имеет двойные записи для каждой интерфейсной точки. Соответствующие столбцы sol.y содержат левое и правое решение в интерфейсе, соответственно.

Смотрите Решают BVP с Несколькими Граничными условиями для примера, который решает краевую задачу с тремя точками.

Сингулярные Краевые задачи

bvp5c решает класс сингулярных краевых задач, включая проблемы с неизвестными параметрами p, формы

$\begin{array}{l} y' = S \frac{y}{x} + f (x, y, p), \\ 0 = b c (y (0), y (b), p) . \end{array}$

Интервал требуется, чтобы быть [0, b] с b> 0. Часто такие проблемы возникают при вычислении сглаженного решения ОДУ, которые следуют из дифференциальных уравнений с частными производными (УЧП) из-за цилиндрической или сферической симметрии. Для сингулярных проблем вы задаете (постоянный) матричный S как значение опции 'SingularTerm' bvpset, и odefun оценивает только f (x, y, p). Граничные условия и исходное предположение должны быть сопоставимы с необходимым условием для гладкости S · y (0) = 0.

Смотрите Решают BVP с Сингулярным Термином для примера, который решает сингулярную краевую задачу.

Алгоритмы

bvp5c является кодом конечной разности, который реализует четырехэтапную формулу [1] Lobatto IIIa. Это - формула словосочетания, и полином словосочетания предоставляет C ^{1-непрерывное} решение, которое является пятым порядком, точным однородно в [a,b]. Формула реализована как неявная формула Рунге-Кутта. Некоторые различия между bvp5c и bvp4c:

bvp5c решает алгебраические уравнения непосредственно. bvp4c использует аналитическую конденсацию.
bvp4c обрабатывает неизвестные параметры непосредственно. bvp5c увеличивает систему с тривиальными дифференциальными уравнениями для неизвестных параметров.

Ссылки

[1] Шемпин, L.F., и Дж. Кирженка. "Решатель BVP, который Невязка Средств управления и Ошибка". Дж. Нумер. Анальный. Ind . Прикладная Математика. Издание 3 (1-2), 2008, стр 27–41.

Документация

bvp5c

Синтаксис

Описание

Примеры

Решите BVP второго порядка

Сравните решатели `bvp5c` и `bvp4c`

Входные параметры

`odefun` Функции, чтобы решить
указатель на функцию

Неизвестные параметры

`bcfun` — Граничные условия
указатель на функцию

Неизвестные параметры

`solinit` — Исходное предположение решения
структура

`опции` Структура опции
структура

Выходные аргументы

`sol - структура Решения`
структура

Больше о

Многоточечные Краевые задачи

Сингулярные Краевые задачи

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Темы

Представленный в R2006b

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

bvp5c

Синтаксис

Описание

Примеры

Решите BVP второго порядка

Сравните решатели bvp5c и bvp4c

Входные параметры

odefun Функции, чтобы решить указатель на функцию

Неизвестные параметры

bcfun — Граничные условия указатель на функцию

Неизвестные параметры

solinit — Исходное предположение решения структура

опции Структура опции структура

Выходные аргументы

sol - структура Решения структура

Больше о

Многоточечные Краевые задачи

Сингулярные Краевые задачи

Алгоритмы

Ссылки

Смотрите также

Темы

Представленный в R2006b

Документация MATLAB

Поддержка

Сравните решатели `bvp5c` и `bvp4c`

`odefun` Функции, чтобы решить
указатель на функцию

`bcfun` — Граничные условия
указатель на функцию

`solinit` — Исходное предположение решения
структура

`опции` Структура опции
структура

`sol - структура Решения`
структура