Решите BVP с неизвестным параметром

Этот пример показывает, как использовать bvp4c, чтобы решить краевую задачу с неизвестным параметром.

Уравнение Мэтью определено на интервале $[0, π]$

${y^{'}}^{'} + (λ - 2 q потому что (2 x)) y = 0$ .

Когда параметр $q = 5$ , граничные условия

$y^{'} (0) = 0$ ,

$y^{'} (π) = 0$ .

Однако это только определяет $y (x)$ до константы несколько, таким образом, третье условие требуется, чтобы задавать конкретное решение,

$y (0) = 1$ .

Чтобы решить эту систему уравнений в MATLAB, необходимо закодировать уравнения, граничные условия и исходное предположение прежде, чем вызвать решатель для краевой задачи bvp4c. Можно или включать необходимые функции как локальные функции в конце файла (как сделано здесь) или сохранить их как отдельные, именованные файлы в директории на пути MATLAB.

Уравнение кода

Создайте функцию, чтобы закодировать уравнения. Эта функция должна иметь подпись dydx = mat4ode(x,y,lambda), где:

x является независимой переменной.
y является зависимой переменной.
lambda является неизвестным параметром, представляющим собственное значение.

Можно записать уравнение Мэтью как систему первого порядка с помощью замен $y_{1} = y$ и $y_{2} = y^{'}$ ,

${y_{1}}^{'} = y_{2}$ ,

${y_{2}}^{'} = - (λ - 2 q потому что (2 x)) y_{1}$ .

Соответствующая функция затем

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved
dydx = [y(2)
      -(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];
end

Примечание: Все функции включены как локальные функции в конце примера.

Граничные условия кода

Теперь, запишите функцию, которая возвращает остаточное значение граничных условий в граничных точках. Эта функция должна иметь подпись res = mat4bc(ya,yb,lambda), где:

ya является значением граничного условия в начале интервала $[a, b]$ .
yb является значением граничного условия в конце интервала $[a, b]$ .
lambda является неизвестным параметром, представляющим собственное значение.

Эта проблема имеет три граничных условия в интервале $[0, π]$ . Чтобы вычислить остаточные значения, необходимо поместить граничные условия в форму $g (x, y) = 0$ . В этой форме граничные условия

$y^{'} (0) = 0$ ,

$y^{'} (π) = 0$ ,

$y (0) - 1 = 0$ .

Соответствующая функция затем

function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions
res = [ya(2)
       yb(2)
       ya(1)-1];
end

Создайте исходное предположение

Наконец, создайте исходное предположение решения. Необходимо обеспечить исходное предположение для обоих компонентов решения $y_{1} = y (x)$ и $y_{2} = y^{'} (x)$ , а также неизвестный параметр $λ$ .

Для этой проблемы косинусная функция делает для хорошего исходного предположения, поскольку это удовлетворяет эти три граничных условия. Закодируйте исходное предположение для $y$ использование функции, которая возвращает предположение для $y_{1}$ и $y_{2}$ .

function yinit = mat4init(x) % initial guess function
yinit = [cos(4*x)
        -4*sin(4*x)];
end

Вызовите bvpinit с помощью сетки 10 точек в интервале $[0, π]$ , функция исходного предположения и предположение 15 для значения $λ$ .

lambda = 15;
solinit = bvpinit(linspace(0,pi,10),@mat4init,lambda);

Решите уравнение

Вызовите bvp4c с функцией ОДУ, функцией граничного условия и исходным предположением.

sol = bvp4c(@mat4ode, @mat4bc, solinit);

Значение параметра

Распечатайте значение неизвестного параметра $λ$ найденный bvp4c. Это значение является четвертым собственным значением ( $q = 5$ ) из уравнения Мэтью.

fprintf('Fourth eigenvalue is approximately %7.3f.\n',...
            sol.parameters)

Fourth eigenvalue is approximately  17.097.

Постройте решение

Используйте deval, чтобы оценить решение, вычисленное bvp4c в 100 точках в интервале $[0, π]$ .

xint = linspace(0,pi);
Sxint = deval(sol,xint);

Постройте оба компонента решения. График показывает собственную функцию (и ее производная) сопоставленный с четвертым собственным значением $λ_{4} = 17.097$ .

plot(xint,Sxint)
axis([0 pi -4 4])
title('Eigenfunction of Mathieu''s Equation.') 
xlabel('x')
ylabel('y')
legend('y','y''')

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель BVP bvp4c вызывает, чтобы вычислить решение. Также можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.

function dydx = mat4ode(x,y,lambda) % equation being solved
q = 5;
dydx = [y(2)
      -(lambda - 2*q*cos(2*x))*y(1)];
end
%-------------------------------------------
function res = mat4bc(ya,yb,lambda) % boundary conditions
res = [ya(2)
       yb(2)
       ya(1)-1];
end
%-------------------------------------------
function yinit = mat4init(x) % initial guess function
yinit = [cos(4*x)
        -4*sin(4*x)];
end
%-------------------------------------------

Смотрите также

bvp4c | bvp5c | bvpinit

Документация