Этот пример показывает, как переупорядочение строк и столбцов разреженной матрицы может влиять на скорость и требования устройства хранения данных операции над матрицей.
График spy
показывает ненулевые элементы в матрице.
Этот график шпиона показывает разреженную симметричную положительную определенную матрицу, выведенную от фрагмента теста Харуэлла-Boeing матричный west0479
. Эта матрица описывает связи в модели дифракционного столбца на химическом заводе.
load west0479.mat A = west0479; S = A * A' + speye(size(A)); pct = 100 / numel(A); spy(S) title('A Sparse Symmetric Matrix') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Вычислите Фактор Холесского L
, где S = L*L'
. Заметьте, что L
содержит намного больше ненулевых элементов, чем неучтенный S
, потому что вычисление факторизации Холесского создает ненули временной замены. Эти значения временной замены замедляют алгоритм и увеличивают затраты на хранение.
L = chol(S,'lower'); spy(L) title('Cholesky Decomposition of S') nc(1) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(1),nc(1)*pct));
Путем переупорядочения строк и столбцов матрицы возможно уменьшать сумму временной замены, которую факторизация создает, таким образом, уменьшая время и затраты на хранение.
Три различных переупорядочения, поддержанные MATLAB®:
Обратный алгоритм Катхилла-Макки
Количество столбцов
Минимальная степень
Протестируйте эффекты этих переупорядочений разреженной матрицы на матрице west0479
.
Команда symrcm
использует обратный алгоритм Катхилла-Макки, чтобы подвинуть все ненулевые элементы поближе к диагонали, уменьшая пропускную способность исходной матрицы.
p = symrcm(S); spy(S(p,p)) title('S(p,p) After Cuthill-McKee Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Временная замена, произведенная факторизацией Холесского, ограничена полосой, таким образом разложение на множители переупорядоченной матрицы занимает меньше времени и меньше устройства хранения данных.
L = chol(S(p,p),'lower'); spy(L) title('chol(S(p,p)) After Cuthill-McKee Ordering') nc(2) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)', nc(2),nc(2)*pct));
Команда colperm
использует алгоритм перестановки количества столбцов, чтобы переместить строки и столбцы с более высоким ненулевым количеством к концу матрицы.
q = colperm(S); spy(S(q,q)) title('S(q,q) After Column Count Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Для этой матрицы упорядоченное расположение количества столбцов, оказывается, уменьшает время и устройство хранения данных для факторизации Холесского, но это поведение не гарантируется в целом.
L = chol(S(q,q),'lower'); spy(L) title('chol(S(q,q)) After Column Count Ordering') nc(3) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(3),nc(3)*pct));
Команда symamd
использует аппроксимированный минимальный алгоритм степени (мощный теоретический графиком метод), чтобы произвести большие блоки нулей в матрице.
r = symamd(S); spy(S(r,r)) title('S(r,r) After Minimum Degree Ordering') nz = nnz(S); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.3f%%)',nz,nz*pct));
Факторизация Холесского сохраняет блоки нулей, произведенных минимальным алгоритмом степени. Эта структура может значительно уменьшать время и затраты на хранение.
L = chol(S(r,r),'lower'); spy(L) title('chol(S(r,r)) After Minimum Degree Ordering') nc(4) = nnz(L); xlabel(sprintf('Nonzeros = %d (%.2f%%)',nc(4),nc(4)*pct));
Эта столбчатая диаграмма обобщает эффекты переупорядочения матрицы прежде, чем выполнить факторизацию Холесского. В то время как факторизация Холесского исходной матрицы имела приблизительно 13% своих элементов, когда ненули, с помощью symamd
уменьшают ту плотность только до приблизительно 4%.
labels = {'Original','Cuthill-McKee','Column Count','Min Degree'}; bar(nc*pct) title('Nonzeros After Cholesky Factorization') ylabel('Percent'); ax = gca; ax.XTickLabel = labels; ax.XTickLabelRotation = -45;