Документация

Уравнение кода

Создайте функцию, чтобы закодировать уравнения. Эта функция должна иметь подпись dfdx = fsode(x,f), где:

Можно переписать уравнение третьего порядка как систему уравнений первого порядка с помощью замен ${\mathit{f}}_1=\mathit{f}$, ${\mathit{f}}_2={\mathit{f}}^{\prime }$, и ${\mathit{f}}_3={{\mathit{f}}^{\prime }}^{\prime }$. Уравнения становятся

${{\mathit{f}}_1}^{\prime }={\mathit{f}}_2$,

${{\mathit{f}}_2}^{\prime }={\mathit{f}}_3$,

${{\mathit{f}}_3}^{\prime }=-{\mathit{f}}_1{\mathit{f}}_3-\beta \left(1-{\mathit{f}}_2^2\right)$.

Соответствующая функция

function dfdeta = fsode(x,f)
b = 0.5;
dfdeta = [ f(2)
           f(3)
          -f(1)*f(3) - b*(1 - f(2)^2) ];
end

Примечание: Все функции включены как локальные функции в конце примера.

Граничные условия кода

Теперь, запишите функцию, которая возвращает остаточное значение граничных условий в граничных точках. Эта функция должна иметь подпись res = fsbc(f0,finf), где:

Чтобы вычислить остаточные значения, необходимо поместить граничные условия в форму $\mathit{g}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)=0$. В этой форме граничные условия

$\mathit{f}\left(0\right)=0$,

${\mathit{f}}^{\prime }\left(0\right)=0$,

${\mathit{f}}^{\prime }\left(\infty \right)-1=0$.

Соответствующая функция

function res = fsbc(f0,finf)
res = [f0(1)
       f0(2)
       finf(2) - 1];
end

Создайте исходное предположение

Наконец, необходимо обеспечить исходное предположение для решения. Грубая сетка пяти точек и постоянного предположения, которое удовлетворяет граничные условия, достаточно хороша, чтобы получить сходимость на интервале $\left[0,3\right]$. Переменная infinity обозначает правый предел интервала интегрирования. Когда значение infinity увеличивается на последующих итерациях от 3 до его максимального значения 6, решение от каждой предыдущей итерации действия как исходное предположение для следующей итерации.

infinity = 3;
maxinfinity = 6;
solinit = bvpinit(linspace(0,infinity,5),[0 0 1]);

Решите уравнение и постройте решения

Решите проблему в начальном интервале $\left[0,\mathrm{\hspace{0.17em}3}\right]$. Постройте решение и сравните значение ${{\mathit{f}}^{\prime }}^{\prime }\left(0\right)$ к аналитическому значению [1].

sol = bvp4c(@fsode,@fsbc,solinit);
x = sol.x;
f = sol.y;
plot(x,f(2,:),x(end),f(2,end),'o');
axis([0 maxinfinity 0 1.4]);
title('Falkner-Skan Equation, Positive Wall Shear, \beta = 0.5.')
xlabel('x')
ylabel('df/dx')
hold on

fprintf('Cebeci & Keller report that f''''(0) = 0.92768.\n')

Cebeci & Keller report that f''(0) = 0.92768.

fprintf('Value computed using infinity = %g is %7.5f.\n', ...
         infinity,f(3,1))

Value computed using infinity = 3 is 0.92915.

Теперь, решите проблему на прогрессивно больших интервалах путем увеличения значения infinity для каждой итерации. Функция bvpinit экстраполирует каждое решение нового интервала, чтобы действовать как исходное предположение для следующего значения infinity. Каждая итерация распечатывает расчетное значение ${{\mathit{f}}^{\prime }}^{\prime }\left(0\right)$ и накладывает график решения по предыдущим решениям. Когда infinity = 6, сопоставимое поведение решения становится очевидным и значение ${{\mathit{f}}^{\prime }}^{\prime }\left(0\right)$ очень близко к ожидаемому значению.

for Bnew = infinity+1:maxinfinity
  solinit = bvpinit(sol,[0 Bnew]); % Extend solution to new interval
  sol = bvp4c(@fsode,@fsbc,solinit);
  x = sol.x;
  f = sol.y;
  
  fprintf('Value computed using infinity = %g is %7.5f.\n', ...
           Bnew,f(3,1))
  plot(x,f(2,:),x(end),f(2,end),'o');
  drawnow
end

Value computed using infinity = 4 is 0.92774.

Value computed using infinity = 5 is 0.92770.

Value computed using infinity = 6 is 0.92770.

hold off

Localfunctions

Перечисленный здесь локальные функции помощника, которые решатель BVP bvp4c вызывает, чтобы вычислить решение. Также можно сохранить эти функции как их собственные файлы в директории на пути MATLAB.

function dfdeta = fsode(x,f) % equation being solved
dfdeta = [ f(2)
           f(3)
          -f(1)*f(3) - 0.5*(1 - f(2)^2) ];
end 
%-------------------------------------------
function res = fsbc(f0,finf) % boundary conditions
res = [f0(1)
       f0(2)
       finf(2) - 1];
end
%-------------------------------------------

Ссылки

[1] Cebeci, T. и Х. Б. Келлер. "Стрельба и Параллельные Методы Стрельбы для Решения Уравнения пограничного слоя Falkner-Skan". J. Аккомпанируйте Физике, Изданию 7, 1971, стр 289-300.