Уравновесьте матрицу большим номером условия, чтобы повысить эффективность и устойчивость решения для линейной системы с итеративным решателем gmres.

Загрузите матрицу west0479, которая является с действительным знаком 479 479 разреженная матрица. Используйте condest, чтобы вычислить предполагаемое количество условия матрицы.

load west0479
A = west0479;
c1 = condest(A)

c1 = 1.4244e+12

Попытайтесь решить линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ использование gmres с 450 итерациями и допуском 1e-11. Задайте пять выходных параметров так, чтобы gmres возвратил нормы невязки решения в каждой итерации (использующий ~, чтобы подавить ненужные выходные параметры). Постройте нормы невязки в полулогарифмическом графике. График показывает, что gmres не может достигнуть разумной нормы невязки, и таким образом, расчетное решение для $\mathit{x}$ не надежно.

b = ones(size(A,1),1);
tol = 1e-11;
maxit = 450;
[x,flx,~,~,rvx] = gmres(A,b,[],tol,maxit);
semilogy(rvx)
title('Residual Norm at Each Iteration')

Используйте equilibrate, чтобы переставить и повторно масштабировать A. Создайте новый матричный B = R*P*A*C, который имеет лучший номер условия и диагональные элементы только 1 и-1.

[P,R,C] = equilibrate(A);
B = R*P*A*C;
c2 = condest(B)

c2 = 5.1036e+04

Используя выходные параметры, возвращенные equilibrate, можно повторно сформулировать проблему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ в $\mathrm{}=\mathit{d}$, где $\mathit{B}=\mathrm{RPAC}$ и $\mathit{d}=\mathrm{RPb}$. В этой форме можно восстановить решение исходной системы с $\mathit{x}=\mathrm{Сай}$.

Используйте gmres, чтобы решить $\mathrm{}=\mathit{d}$ для $\mathit{y}$, и затем повторно постройте нормы невязки в каждой итерации. График показывает, что уравновешивание матрицы улучшает устойчивость проблемы с gmres, сходящимся к желаемому допуску 1e-11 меньше чем в 200 итерациях.

d = R*P*b;
[y,fly,~,~,rvy] = gmres(B,d,[],tol,maxit);
hold on
semilogy(rvy)
legend('Original', 'Equilibrated', 'Location', 'southeast')
title('Relative Residual Norms (No Preconditioner)')
hold off

semilogy(rvy)
hold on

[L1,U1] = ilu(B,struct('type','ilutp','droptol',1e-1,'thresh',0));
[yp1,flyp1,~,~,rvyp1] = gmres(B,d,[],tol,maxit,L1,U1);
semilogy(rvyp1)

[L2,U2] = ilu(B,struct('type','ilutp','droptol',1e-2,'thresh',0));
[yp2,flyp2,~,~,rvyp2] = gmres(B,d,[],tol,maxit,L2,U2);
semilogy(rvyp2)

legend('No preconditioner', 'ILUTP(1e-1)', 'ILUTP(1e-2)')
title('Relative Residual Norms with ILU Preconditioner (Equilibrated)')
hold off