Вычислите и проверьте ортонормированные векторы базиса линейной оболочки столбцов матрицы полного ранга.

Задайте матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1;-1 -2 0; 0 1 -1];
r = rank(A)

r = 3

Поскольку A является квадратной матрицей полного ранга, ортонормированный базис, вычисленный orth(A), совпадает с матричным U, вычисленным в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это вызвано тем, что сингулярные значения A являются все ненулевыми.

Вычислите ортонормированный базис для области значений A с помощью orth.

Q = orth(A)

Q = 3×3

   -0.1200   -0.8097    0.5744
    0.9018    0.1531    0.4042
   -0.4153    0.5665    0.7118

Количество столбцов в Q равно rank(A). Поскольку A имеет полный ранг, Q и A одного размера.

Проверьте, что основание, Q, является ортогональным и нормировано в разумном диапазоне ошибок.

E = norm(eye(r)-Q'*Q,'fro')

E = 1.0857e-15

Ошибка находится на порядке eps.

Вычислите и проверьте ортонормированные векторы базиса области значений матрицы неполного ранга.

Задайте сингулярную матрицу и найдите ранг.

A = [1 0 1; 0 1 0; 1 0 1];
r = rank(A)

r = 2

Поскольку A имеет неполный ранг, ортонормированный базис, вычисленный orth(A), совпадает только с первыми столбцами r = 2 матричного U, вычисленного в сингулярном разложении, [U,S] = svd(A,'econ'). Это вызвано тем, что сингулярные значения A не являются все ненулевыми.

Вычислите ортонормированный базис для области значений A с помощью orth.

Q = orth(A)

Q = 3×2

   -0.7071         0
         0    1.0000
   -0.7071         0

Поскольку A имеет неполный ранг, Q содержит тот меньше столбца, чем A.