Минимизация с градиентом и гессианом

Этот пример показывает, как решить нелинейную проблему минимизации с явной трехдиагональной матрицей Гессиана H (x).

Проблема состоит в том, чтобы найти, что x минимизирует

f (x) = \sum_{i = 1}^{n - 1} ({(x_{i}^{2})}^{(x_{i + 1}^{2} + 1)} + {(x_{i + 1}^{2})}^{(x_{i}^{2} + 1)}),

(1)

где n = 1000.

Шаг 1: Запишите файл brownfgh.m, который вычисляет целевую функцию, градиент цели и разреженную трехдиагональную матрицу Гессиана.

Файл длинен, так не включен здесь. Просмотрите код с командой

type brownfgh

Поскольку brownfgh вычисляет градиент и значения Гессиана, а также целевую функцию, необходимо использовать optimoptions, чтобы указать, что эта информация доступна в brownfgh, с помощью опций HessianFcn и SpecifyObjectiveGradient.

Шаг 2: Вызовите нелинейную стандартную программу минимизации с отправной точкой xstart.

n = 1000;
xstart = -ones(n,1);
xstart(2:2:n,1) = 1;
options = optimoptions(@fminunc,'Algorithm','trust-region',...
    'SpecifyObjectiveGradient',true,'HessianFcn','objective');
[x,fval,exitflag,output] = fminunc(@brownfgh,xstart,options);

Эти 1 000 переменных проблем решены приблизительно в 7 итерациях и 7 итерациях метода сопряженных градиентов с положительной сходимостью указания exitflag. Итоговое значение функции и мера оптимальности в решении x оба близко к нулю. Для fminunc оптимальность первого порядка является нормой бесконечности градиента функции, которая является нулем в локальном минимуме:

fval,exitflag,output.firstorderopt

fval =

   2.8709e-17


exitflag =

     1


ans =

   4.7948e-10

Документация