Этот пример показывает, как использовать Robust Control Toolbox™, чтобы создать неопределенные модели в пространстве состояний и анализировать робастность систем управления с обратной связью с неопределенными элементами.
Мы покажем, как задать неопределенные физические параметры и создать неопределенные модели в пространстве состояний из этих параметров. Вы будете видеть, как оценить эффекты случайных и изменений параметра худшего случая с помощью функций usample
и robstab
.
В этом примере мы используем следующую систему, состоящую из двух лишенных трения корзин, соединенных пружинным k
:
Рисунок 1: 2D корзина и пружинная система.
Вход управления является силой, u1
применился к левой корзине. Вывод, которым будут управлять, является положением y1
правильной корзины. Управление с обратной связью имеет следующую форму:
Кроме того, мы используем тройной ведущий компенсатор:
Мы создаем этот компенсатор с помощью этого кода:
s = zpk('s'); % The Laplace 's' variable C = 100*ss((s+1)/(.001*s+1))^3;
2D корзина и пружинная система моделируются блок-схемой, показанной ниже.
Рисунок 2: Блок-схема 2D корзины и пружинная модель.
Проблема управления корзинами осложнена тем, что значения коэффициента упругости k
и массы корзины m1,m2
известны только с 20%-й точностью: , , и . Чтобы получить эту изменчивость, мы создадим три неопределенных действительных параметра с помощью функции ureal
:
k = ureal('k',1,'percent',20); m1 = ureal('m1',1,'percent',20); m2 = ureal('m2',1,'percent',20);
Мы можем представлять модели корзин можно следующим образом:
Учитывая неопределенные параметры m1
и m2
, мы создадим неопределенные модели в пространстве состояний (USS) для G1 и G2 можно следующим образом:
G1 = 1/s^2/m1; G2 = 1/s^2/m2;
Сначала мы создадим модель объекта управления P
, соответствующий блок-схеме, показанной выше (P
сопоставляет u1 с y1):
% Spring-less inner block F(s)
F = [0;G1]*[1 -1]+[1;-1]*[0,G2]
F = Uncertain continuous-time state-space model with 2 outputs, 2 inputs, 4 states. The model uncertainty consists of the following blocks: m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences Type "F.NominalValue" to see the nominal value, "get(F)" to see all properties, and "F.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Соединитесь с пружиной k
P = lft(F,k)
P = Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 4 states. The model uncertainty consists of the following blocks: k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences Type "P.NominalValue" to see the nominal value, "get(P)" to see all properties, and "P.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Управление с обратной связью u1 = C* (r-y1) управляет на объекте P
как показано ниже:
Рисунок 3: Неопределенная модель системы с обратной связью.
Мы будем использовать функцию feedback
, чтобы вычислить передачу с обратной связью от r до y1.
% Uncertain open-loop model is
L = P*C
L = Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 7 states. The model uncertainty consists of the following blocks: k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences Type "L.NominalValue" to see the nominal value, "get(L)" to see all properties, and "L.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Неопределенная передача с обратной связью от r до y1
T = feedback(L,1)
T = Uncertain continuous-time state-space model with 1 outputs, 1 inputs, 7 states. The model uncertainty consists of the following blocks: k: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m1: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences m2: Uncertain real, nominal = 1, variability = [-20,20]%, 1 occurrences Type "T.NominalValue" to see the nominal value, "get(T)" to see all properties, and "T.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.
Обратите внимание на то, что, поскольку G1
и G2
сомнительны, и P
и T
являются неопределенными моделями в пространстве состояний.
Номинальная передаточная функция объекта
Pnom = zpk(P.nominal)
Pnom = 1 ------------- s^2 (s^2 + 2) Continuous-time zero/pole/gain model.
Затем, мы оцениваем номинальную передаточную функцию с обратной связью Tnom
, и затем проверяем, что все полюса номинальной системы имеют отрицательные действительные части:
Tnom = zpk(T.nominal); maxrealpole = max(real(pole(Tnom)))
maxrealpole = -0.8232
Обратная связь останется стабильной для всех возможных значений k,m1,m2
в заданной области значений неуверенности? Мы можем использовать функцию robstab
, чтобы ответить на этот вопрос строго.
% Show report and compute sensitivity opt = robOptions('Display','on','Sensitivity','on'); [StabilityMargin,wcu] = robstab(T,opt);
Computing peak... Percent completed: 100/100 System is robustly stable for the modeled uncertainty. -- It can tolerate up to 288% of the modeled uncertainty. -- There is a destabilizing perturbation amounting to 289% of the modeled uncertainty. -- This perturbation causes an instability at the frequency 575 rad/seconds. -- Sensitivity with respect to each uncertain element is: 12% for k. Increasing k by 25% decreases the margin by 3%. 47% for m1. Increasing m1 by 25% decreases the margin by 11.8%. 47% for m2. Increasing m2 by 25% decreases the margin by 11.8%.
Отчет указывает, что замкнутый цикл может терпеть до трех раз как больше в k,m1,m2
прежде, чем идти нестабильный. Это также предоставляет полезную информацию о чувствительности устойчивости к каждому параметру. Переменная wcu
содержит самые маленькие изменения параметра дестабилизации (относительно номинальной стоимости).
wcu
wcu = struct with fields:
k: 1.5773
m1: 0.4227
m2: 0.4227
Обратите внимание на то, что пиковое усиление через частоту передачи с обратной связью T
показательно из уровня перерегулирования в переходном процессе с обратной связью. Чем ближе это усиление к 1, тем меньше перерегулирование. Мы используем wcgain
, чтобы вычислить усиление худшего случая PeakGain
T
в заданной области значений неуверенности.
[PeakGain,wcu] = wcgain(T); PeakGain
PeakGain = struct with fields:
LowerBound: 1.0449
UpperBound: 1.0796
CriticalFrequency: 9.5123
Замените изменением параметра худшего случая wcu
в T
, чтобы вычислить худший случай передача с обратной связью Twc
.
Twc = usubs(T,wcu); % Worst-case closed-loop transfer T
Наконец, выберите от случайных выборок неопределенных параметров и сравните, соответствующие передачи с обратной связью с худшим случаем передают Twc
.
Trand = usample(T,4); % 4 random samples of uncertain model T clf subplot(211), bodemag(Trand,'b',Twc,'r',{10 1000}); % plot Bode response subplot(212), step(Trand,'b',Twc,'r',0.2); % plot step response
Рисунок 4: Диаграмма Боде и переходной процесс.
В этом анализе мы видим, что компенсатор C выполняет надежно для заданной неуверенности на k, m1, m2.