Задайте последовательность и вычислите ее аналитический сигнал с помощью hilbert.

xr = [1 2 3 4];
x = hilbert(xr)

x = 1×4 complex

   1.0000 + 1.0000i   2.0000 - 1.0000i   3.0000 - 1.0000i   4.0000 + 1.0000i

Мнимая часть x является Гильбертовым преобразованием xr, и действительной частью является сам xr.

imx = imag(x)

imx = 1×4

     1    -1    -1     1

rex = real(x)

rex = 1×4

     1     2     3     4

Последняя половина дискретного преобразования Фурье (DFT) x является нулем. (В этом примере последняя половина преобразования является только последним элементом.) DC и элементы Найквиста fft(x) чисто действительны.

dft = fft(x)

dft = 1×4 complex

  10.0000 + 0.0000i  -4.0000 + 4.0000i  -2.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i

Функция hilbert находит точный аналитический сигнал для конечного блока данных. Можно также сгенерировать аналитический сигнал при помощи конечного импульсного ответа (FIR) фильтр преобразователя Гильберта, чтобы вычислить приближение к мнимой части.

Сгенерируйте последовательность, состоявшую из трех синусоид с частотами 203, 721, и 1 001 Гц. Последовательность выбирается на уровне 10 кГц в течение приблизительно 1 секунды. Используйте функцию hilbert, чтобы вычислить аналитический сигнал. Постройте его между 0,01 секундами и 0,03 секундами.

fs = 1e4;
t = 0:1/fs:1; 

x = 2.5 + cos(2*pi*203*t) + sin(2*pi*721*t) + cos(2*pi*1001*t);

y = hilbert(x);

plot(t,real(y),t,imag(y))
xlim([0.01 0.03])
legend('real','imaginary')
title('hilbert Function')

Вычислите валлийские оценки степени спектральная плотность исходной последовательности и аналитического сигнала. Разделите последовательности на Hamming-оконные, неперекрывающиеся разделы длины 256. Проверьте, что аналитический сигнал не имеет никакой силы на отрицательных частотах.

pwelch([x;y].',256,0,[],fs,'centered')
legend('Original','hilbert')

Используйте функцию designfilt, чтобы разработать 60-й порядок КИХ-фильтр преобразователя Гильберта. Задайте ширину перехода 400 Гц. Визуализируйте частотную характеристику фильтра.

fo = 60;

d = designfilt('hilbertfir','FilterOrder',fo, ...
       'TransitionWidth',400,'SampleRate',fs); 

freqz(d,1024,fs)

Отфильтруйте синусоидальную последовательность, чтобы аппроксимировать мнимую часть аналитического сигнала.

hb = filter(d,x);

Групповая задержка фильтра, grd, равна половине порядка фильтра. Компенсируйте эту задержку. Удалите первые выборки grd мнимой части и последние выборки grd действительной части и временного вектора. Постройте результат между 0,01 секундами и 0,03 секундами.

grd = fo/2;
   
y2 = x(1:end-grd) + 1j*hb(grd+1:end);
t2 = t(1:end-grd);

plot(t2,real(y2),t2,imag(y2))
xlim([0.01 0.03])
legend('real','imaginary')
title('FIR Filter')

Оцените степень спектральную плотность (PSD) аппроксимированного аналитического сигнала и сравните его с результатом hilbert.

pwelch([y;[y2 zeros(1,grd)]].',256,0,[],fs,'centered')
legend('hilbert','FIR Filter')