Подпилите распределение типа XII

Определение

Распределение типа XII Берра является семейством распределений с тремя параметрами на положительной действительной строке. Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения Берра

$F (x | α, c, k) = 1 - \frac{1}{{(1 + {(\frac{x}{α})}^{c})}^{k}}, x > 0, α > 0, c > 0, k > 0,$

где c и k являются параметрами формы, и α является масштабным коэффициентом. Функция плотности вероятности (PDF)

$f (x | α, c, k) = \frac{\frac{k c}{α} {(\frac{x}{α})}^{c - 1}}{{(1 + {(\frac{x}{α})}^{c})}^{k + 1}}, x > 0, α > 0, c > 0, k > 0 .$

Плотность распределения типа XII Берра является L-образной если c ≤ 1 и одномодовый в противном случае.

Фон

Распределение Берра было сначала обсуждено Берром (1942) как семейство 2D параметров. Дополнительный масштабный коэффициент был введен Tadikamalla (1980). Это - гибкое семейство распределений, которое может выразить широкий спектр форм распределения. Распределение Берра включает, перекрывает или имеет как ограничивающий случай, много обычно используемых дистрибутивов, таких как гамма, логарифмически нормальная, loglogistic, колоколообразные, и J-образные бета дистрибутивы (но не U-образное). Некоторые составные дистрибутивы также соответствуют распределению Берра. Например, соединение распределения Вейбалла с гамма распределением для его масштабного коэффициента приводит к распределению Берра. Точно так же соединение экспоненциального распределения с гамма распределением для его параметра уровня, 1/μ, также приводит к распределению Берра. Распределение Берра также имеет два асимптотических ограничивающих случая: Вейбалл и Тип I Парето.

Распределение Берра может соответствовать широкому спектру эмпирических данных. Различные значения его параметров покрывают широкий набор скошенности и эксцесса. Следовательно, это используется в различных полях, таких как финансы, гидрология и надежность, чтобы смоделировать множество типов данных. Примеры данных, смоделированных распределением Берра, являются доходом семьи, обрезают цены, страховой риск, время прохождения, лавинно рассылают уровни и данные об отказе.

Выживание и функции опасности распределения типа XII Берра, соответственно,

$S (x | α, c, k) = \frac{1}{{[1 + {(\frac{x}{α})}^{c}]}^{k}}$

$h (x | α, c, k) = \frac{\frac{k c}{α} {(\frac{x}{α})}^{c - 1}}{1 + {(\frac{x}{α})}^{c}} .$

Если c> 1, функция опасности h (x) является немонотонной с режимом в x = α (c – 1) ^1/c.

Параметры

Распределение Берра с тремя параметрами задано его масштабным коэффициентом α и параметры формы c и k. Можно оценить параметры с помощью mle или fitdist. Обе функции поддерживают подвергнутые цензуре данные для распределения Берра.

Сгенерируйте выборочные данные от распределения Берра с масштабным коэффициентом 0.5 и сформируйте параметры 2 и 5.

rng('default')
R = random('burr',0.5,2,5,1000,1);

Оцените параметры и доверительные интервалы.

[phat,pci] = mle(R,'distribution','burr')

phat =

    0.4154    2.1217    4.0550


pci =

    0.2985    1.9560    2.4079
    0.5782    2.3014    6.8288

Значение по умолчанию 95% доверительных интервалов для параметров включает истинные значения параметров.

Распределение Берра с тремя параметрами сходится асимптотически к одной из двух ограничивающих форм, когда его параметры отличаются:

Если k →0, c →∞, ck = λ, то распределение Берра уменьшает до 2D параметра распределение Парето с cdf

$F_{P} = 1 - {(\frac{x}{α})}^{- λ}, x \geq α .$
Если k →∞, α →∞, α/k1/^c = θ, то распределение Берра уменьшает до 2D параметра распределение Weibull с cdf

$F_{W} (x | c, θ) = 1 - \exp [- {(\frac{x}{θ})}^{c}] .$

Если mle или fitdist обнаруживают такое расхождение, это возвращает сообщение об ошибке, но сообщает вам об ограничивающем распределении и соответствующих оценках параметра для того распределения.

Соответствуйте Распределению Шума и Чертите cdf

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как соответствовать распределению Берра к данным, чертить cdf и создать гистограмму с подгонкой распределения Берра.

1. Загрузите выборочные данные.

load arrhythmia

Пятая колонна в X содержит измерение, полученное из электрокардиограмм, названных длительностью QRS.

2. Соответствуйте распределению Шума к данным о длительности QRS и получите оценки параметра.

PD = fitdist(X(:,5),'burr');

PD имеет оценки наибольшего правдоподобия параметров распределения Берра в свойстве Param. Оценки являются α = 80.4515, $c$ = 18.9251, $k$ = 0.4492.

3. Постройте cdf данных о длительности QRS.

QRScdf=cdf('burr',sortrows(X(:,5)),80.4515,18.9251,0.4492);
plot(sortrows(X(:,5)),QRScdf) 
title('QRS duration data')
xlabel('QRS Duration')

4. Чертите гистограмму данных о длительности QRS с 15 интервалами и PDF подгонки распределения Берра.

histfit(X(:,5),15,'burr')
title('Histogram of QRS data with a Burr distribution fit')
xlabel('QRS Duration')

Сравните Логарифмически нормальный и Распределение Шума pdfs

Скрипт Open Live Script

Сравните логарифмически нормальный PDF с доходными данными об использовании PDF Берра, сгенерированными от логарифмически нормального распределения.

Сгенерируйте доходные данные.

rng('default') % For reproducibility
y = random('Lognormal',log(25000),0.65,[500,1]);

Соответствуйте распределению Шума.

pd = fitdist(y,'burr')

pd = 
  BurrDistribution

  Burr distribution
    alpha = 26007.2   [21165.5, 31956.4]
        c = 2.63743   [2.3053, 3.0174]
        k = 1.09658   [0.775479, 1.55064]

Постройте и Шум и логарифмически нормальный pdfs поступивших данных по той же фигуре.

p_burr = pdf(pd,sortrows(y));
p_lognormal = pdf('Lognormal',sortrows(y),log(25000),0.65);
plot(sortrows(y),p_burr,'-',sortrows(y),p_lognormal,'-.')
title('Burr and Lognormal pdfs Fit to Income Data')
legend('Burr Distribution','Lognormal Distribution')

Подпилите PDF для Различных Параметров

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как создать множество форм для функций плотности вероятности распределения Берра.

X = 0:0.01:5;
c = [0.5 0.95 2 5];
k = [0.5 0.75 2 5];
alpha = [0.5 1 2 5];
colors = ['b';'g';'r';'k']';

figure
for i = 1:1:4
pdf1(i,:) = pdf('burr',X,1,c(i),0.5);
pdf2(i,:) = pdf('burr',X,1,2,k(i));
pdf3(i,:) = pdf('burr',X,alpha(i),2,0.5); 

axC = subplot(3,1,1);
pC(i) = plot(X,pdf1(i,:),colors(i),'LineWidth',2);
title('Effect of c, \alpha = 1, k = 0.5'),xlabel('x') 
hold on
 
axK = subplot(3,1,2);
pK(i) = plot(X,pdf2(i,:),colors(i),'LineWidth',2);
title('Effect of k, \alpha = 1, c = 2'),xlabel('x') 
hold on 

axAlpha = subplot(3,1,3);
pAlpha(i) = plot(X,pdf3(i,:),colors(i),'LineWidth',2);
title('Effect of \alpha, c = 2, k = 0.5'),xlabel('x') 
hold on
end

set(axC,'XLim',[0 3],'YLim',[0 1.2]);
set(axK,'XLim',[0 3],'YLim',[0 2.1]);
set(axAlpha,'XLim',[0 5],'YLim',[0 1]);

legend(axC,'c=0.5','c=0.95','c=2','c=5');
legend(axK,'k=0.5','k=0.75','k=2','k=5');
legend(axAlpha,'\alpha=0.5','\alpha=1','\alpha=2','\alpha=5');

Эта фигура иллюстрирует, как форма и шкала распределения Берра изменяются для различных значений его параметров.

Выживание и функции опасности распределения шума

Скрипт Open Live Script

Этот пример показывает, как найти и построить выживание и функции опасности для выборки, прибывающей из распределения Берра.

Сгенерируйте данные.

 X = 0:0.015:2.5;

Оцените PDF и cdf данных в X.

Xpdf = pdf('burr',X,0.2,5,0.5);
Xcdf = cdf('burr',X,0.2,5,0.5);

Оцените и постройте функцию выживания данных в X.

S = 1.-Xcdf; % survival function
plot(X,S,'LineWidth',2)
title('Survival function')
xlabel('x')

Оцените и постройте функцию опасности данных в X.

H = Xpdf./S; % hazard function
plot(X,H,'r','LineWidth',2)
title('Hazard function')
xlabel('x')

Расхождение оценок параметра

Этот пример показывает, как интерпретировать отображение, когда оценки параметра отличаются при подборе кривой распределению Берра к входным данным.

1. Сгенерируйте выборочные данные от распределения Weibull с параметрами 0.5 и 2.

rng('default') % for reproducibility
X = wblrnd(0.5,2,100,1);

2. Соответствуйте распределению Шума.

PD = fitdist(X,'burr');

Error using addburr>burrfit (line 566)
The data are not fit by a Burr distribution with finite parameters. 
The maximum likelihood fit is provided by the k->Inf, alpha->Inf 
limiting form of the Burr distribution: a Weibull distribution 
with the parameters below.
	a (scale): 0.476817
	b (shape): 1.96219

Error in prob.BurrDistribution.fit (line 246)
            p = burrfit(x,0.05,cens,freq,opt);

Error in fitdist>localfit (line 238)
pd = feval(fitter,x,'cens',c,'freq',f,varargin{:});

Error in fitdist (line 185)
    pd = localfit(dist,fitter,x,cens,freq,args{:});

Сообщение об ошибке говорит вам, что семейство Weibull, кажется, соответствует данным лучше и дает вам оценки параметра от подгонки Weibull. Можно использовать те оценки непосредственно. Если вам нужны оценки ковариации для параметров или другой информации о подгонке, можно переоборудовать распределение Weibull к данным.

3. Соответствуйте распределению Weibull к данным и найдите доверительные интервалы для оценок параметра.

PD = fitdist(X,'weibull');
paramci(PD)

ans =

    0.4291    1.6821
    0.5298    2.2890

Это 95% доверительных интервалов оценок параметра для подгонки распределения Weibull.

Ссылки

[1] Шипите, Ирвинг В. “Совокупные функции частоты”. Летопись Математической Статистики, Издания 13, Номера 2, 1942, стр 215–232.

[2] Tadikamalla, Пэнду Р. “Взгляд на Шум и связанные дистрибутивы”. Международный Статистический Анализ, Издание 48, Номер 3, 1980, стр 337–344.

[3] Родригес, Роберт Н. “Руководство по дистрибутивам типа XII Берра”. Biometrika, Издание 64, Номер 1, 1977, стр 129–134.

[4] AL-Hussaini, Эссам К. “Характеристика распределения типа XII Берра”. Прикладная Математика. Латыш. Издание 4, Номер 1, 1991, стр 59–61.

[5] Grammig, Джоаким и Kai-Oliver Маурер. “Немонотонная опасность функционирует и авторегрессивная условная модель длительности”. Журнал эконометрики, Издание 3, 2000, стр 16–38.

Смотрите также

BurrDistribution

Документация