cmdscale
Классическое многомерное масштабирование
Синтаксис
Y = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D,p)
Описание
Y = cmdscale(D) берет n-by-n матрица расстояния D и возвращает n-by-p матрица настройки Y. Строки Y являются координатами точек n в p - мерное пространство для некоторого p < n. Когда D является Евклидовой матрицей расстояния, расстояния между теми точками даны D. p является размерностью самого маленького пробела, на котором n указывает, чей разделяют расстояния знаками препинания, даны D, может быть встроен.
[Y,e] = cmdscale(D) также возвращает собственные значения Y*Y'. Когда D является Евклидовым, первые элементы p e положительны, остальные обнуляют. Если первые элементы k e намного больше, чем остающийся (n-k), то можно использовать первые столбцы k Y как k - размерные точки, чьи разделяют знаками препинания расстояния, аппроксимированные D. Это может обеспечить полезное сокращение размерности для визуализации, например, для k = 2.
D не должен быть Евклидовой матрицей расстояния. Если это является неэвклидовым или более общая матрица несходства, то некоторые элементы e отрицательны, и cmdscale выбирает p в качестве количества положительных собственных значений. В этом случае сокращение к p или меньшему количеству размерностей предоставляет разумное приближение D, только если отрицательные элементы e являются маленькими в значении.
[Y,e] = cmdscale(D,p) также принимает положительный целочисленный p между 1 и n. p задает размерность желаемого встраивания Y. Если p, размерное встраивание возможно, то Y будет иметь размер n-by-p и e, будет иметь размер p-by-1. Если только q, размерное встраивание с q < p возможно, то Y будет иметь размер n-by-q и e, будет иметь размер p-by-1. Определение p может уменьшать вычислительную нагрузку, когда n является очень большим.
Можно задать D или как полную матрицу несходства, или в верхней треугольной векторной форме той, которая выводится pdist. Полная матрица несходства должна быть действительной и симметричной, и еще иметь нули вдоль диагональных и положительных элементов везде. Матрица несходства в верхней треугольной форме должна иметь действительные, положительные записи. Можно также задать D как полную матрицу подобия с единицами по диагонали и всем другим элементам меньше чем один. cmdscale преобразовывает матрицу подобия к матрице несходства таким способом, которым расстояния между точками, возвращенными в Y, равняются или аппроксимированный sqrt(1-D). Чтобы использовать различное преобразование, необходимо преобразовать общие черты до вызова cmdscale.
Примеры
Создайте карту Используя многомерное масштабирование
Этот пример показывает, как создать карту 10 городов США на основе расстояний между теми городами, с помощью cmdscale.
Во-первых, создайте матрицу расстояния и передайте ее cmdscale. В этом примере D является полной матрицей расстояния: это является квадратным и симметричным, имеет положительные записи от диагонали и имеет нули на диагонали.
cities = ... {'Atl','Chi','Den','Hou','LA','Mia','NYC','SF','Sea','WDC'}; D = [ 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543; 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597; 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494; 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220; 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300; 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923; 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205; 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442; 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329; 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0]; [Y,eigvals] = cmdscale(D);
Затем, посмотрите на собственные значения, возвращенные cmdscale. Некоторые из них отрицательны, указывая, что исходные расстояния не являются Евклидовыми. Это вызвано тем, что искривления земли.
format short g [eigvals eigvals/max(abs(eigvals))]
ans = 10×2
9.5821e+06 1
1.6868e+06 0.17604
8157.3 0.0008513
1432.9 0.00014954
508.67 5.3085e-05
25.143 2.624e-06
4.6705e-10 4.8741e-17
-897.7 -9.3685e-05
-5467.6 -0.0005706
-35479 -0.0037026
Однако в этом случае два самых больших положительных собственных значения намного больше в значении, чем остающиеся собственные значения. Так, несмотря на отрицательные собственные значения, первые две координаты Y достаточны для разумного воспроизведения D.
Dtriu = D(find(tril(ones(10),-1)))'; maxrelerr = max(abs(Dtriu-pdist(Y(:,1:2))))./max(Dtriu)
maxrelerr =
0.0075371
Вот график восстановленных городских районов как карта. Ориентация реконструкции произвольна.
plot(Y(:,1),Y(:,2),'.') text(Y(:,1)+25,Y(:,2),cities) xlabel('Miles') ylabel('Miles')
Оцените реконструкции Используя различные метрики расстояния
Определите, как качество реконструкции отличается, когда вы уменьшаете точки до расстояний с помощью различных метрик.
Сгенерируйте десять точек на 4-D пробеле, которые являются близко к 3-D пробелу. Возьмите линейное преобразование точек так, чтобы их преобразованные значения были близко к 3-D подпространству, которое не выравнивается с осями координат.
rng default % Set the seed for reproducibility A = [normrnd(0,1,10,3) normrnd(0,0.1,10,1)]; B = randn(4,4); X = A*B;
Уменьшайте точки в X к расстояниям при помощи Евклидовой метрики. Найдите настройку Y с разделять знаками препинания расстояниями.
D = pdist(X,'euclidean');
Y = cmdscale(D);Сравните качество реконструкций при использовании 2, 3, или 4 размерности. Маленькое значение maxerr3 указывает, что первые 3 размерности обеспечивают хорошую реконструкцию.
maxerr2 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:2))))
maxerr2 = 0.1631
maxerr3 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:3))))
maxerr3 = 0.0187
maxerr4 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr4 = 7.9936e-15
Уменьшайте точки в X к расстояниям при помощи метрики 'cityblock'. Найдите настройку Y с разделять знаками препинания расстояниями.
D = pdist(X,'cityblock');
[Y,e] = cmdscale(D);Оцените качество реконструкции. e содержит по крайней мере один отрицательный элемент большого значения, которое может составлять низкое качество реконструкции.
maxerr = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr = 9.0488
min(e)
ans = -5.6586
Ссылки
[1] Seber, G. A. F. Многомерные наблюдения. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1984.
Смотрите также
mdscale | pdist | procrustes