Классическое многомерное масштабирование
Y = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D)
[Y,e] = cmdscale(D,p)
Y = cmdscale(D) берет n-by-n матрица расстояния D и возвращает n-by-p матрица настройки Y. Строки Y являются координатами точек n в p - мерное пространство для некоторого p < n. Когда D является Евклидовой матрицей расстояния, расстояния между теми точками даны D. p является размерностью самого маленького пробела, на котором n указывает, чей разделяют расстояния знаками препинания, даны D, может быть встроен.
[Y,e] = cmdscale(D) также возвращает собственные значения Y*Y'. Когда D является Евклидовым, первые элементы p e положительны, остальные обнуляют. Если первые элементы k e намного больше, чем остающийся (n-k), то можно использовать первые столбцы k Y как k - размерные точки, чьи разделяют знаками препинания расстояния, аппроксимированные D. Это может обеспечить полезное сокращение размерности для визуализации, например, для k = 2.
D не должен быть Евклидовой матрицей расстояния. Если это является неэвклидовым или более общая матрица несходства, то некоторые элементы e отрицательны, и cmdscale выбирает p в качестве количества положительных собственных значений. В этом случае сокращение к p или меньшему количеству размерностей предоставляет разумное приближение D, только если отрицательные элементы e являются маленькими в значении.
[Y,e] = cmdscale(D,p) также принимает положительный целочисленный p между 1 и n. p задает размерность желаемого встраивания Y. Если p, размерное встраивание возможно, то Y будет иметь размер n-by-p и e, будет иметь размер p-by-1. Если только q, размерное встраивание с q < p возможно, то Y будет иметь размер n-by-q и e, будет иметь размер p-by-1. Определение p может уменьшать вычислительную нагрузку, когда n является очень большим.
Можно задать D или как полную матрицу несходства, или в верхней треугольной векторной форме той, которая выводится pdist. Полная матрица несходства должна быть действительной и симметричной, и еще иметь нули вдоль диагональных и положительных элементов везде. Матрица несходства в верхней треугольной форме должна иметь действительные, положительные записи. Можно также задать D как полную матрицу подобия с единицами по диагонали и всем другим элементам меньше чем один. cmdscale преобразовывает матрицу подобия к матрице несходства таким способом, которым расстояния между точками, возвращенными в Y, равняются или аппроксимированный sqrt(1-D). Чтобы использовать различное преобразование, необходимо преобразовать общие черты до вызова cmdscale.
Этот пример показывает, как создать карту 10 городов США на основе расстояний между теми городами, с помощью cmdscale.
Во-первых, создайте матрицу расстояния и передайте ее cmdscale. В этом примере D является полной матрицей расстояния: это является квадратным и симметричным, имеет положительные записи от диагонали и имеет нули на диагонали.
cities = ... {'Atl','Chi','Den','Hou','LA','Mia','NYC','SF','Sea','WDC'}; D = [ 0 587 1212 701 1936 604 748 2139 2182 543; 587 0 920 940 1745 1188 713 1858 1737 597; 1212 920 0 879 831 1726 1631 949 1021 1494; 701 940 879 0 1374 968 1420 1645 1891 1220; 1936 1745 831 1374 0 2339 2451 347 959 2300; 604 1188 1726 968 2339 0 1092 2594 2734 923; 748 713 1631 1420 2451 1092 0 2571 2408 205; 2139 1858 949 1645 347 2594 2571 0 678 2442; 2182 1737 1021 1891 959 2734 2408 678 0 2329; 543 597 1494 1220 2300 923 205 2442 2329 0]; [Y,eigvals] = cmdscale(D);
Затем, посмотрите на собственные значения, возвращенные cmdscale. Некоторые из них отрицательны, указывая, что исходные расстояния не являются Евклидовыми. Это вызвано тем, что искривления земли.
format short g [eigvals eigvals/max(abs(eigvals))]
ans = 10×2
9.5821e+06 1
1.6868e+06 0.17604
8157.3 0.0008513
1432.9 0.00014954
508.67 5.3085e-05
25.143 2.624e-06
4.6705e-10 4.8741e-17
-897.7 -9.3685e-05
-5467.6 -0.0005706
-35479 -0.0037026
Однако в этом случае два самых больших положительных собственных значения намного больше в значении, чем остающиеся собственные значения. Так, несмотря на отрицательные собственные значения, первые две координаты Y достаточны для разумного воспроизведения D.
Dtriu = D(find(tril(ones(10),-1)))'; maxrelerr = max(abs(Dtriu-pdist(Y(:,1:2))))./max(Dtriu)
maxrelerr =
0.0075371
Вот график восстановленных городских районов как карта. Ориентация реконструкции произвольна.
plot(Y(:,1),Y(:,2),'.') text(Y(:,1)+25,Y(:,2),cities) xlabel('Miles') ylabel('Miles')
Определите, как качество реконструкции отличается, когда вы уменьшаете точки до расстояний с помощью различных метрик.
Сгенерируйте десять точек на 4-D пробеле, которые являются близко к 3-D пробелу. Возьмите линейное преобразование точек так, чтобы их преобразованные значения были близко к 3-D подпространству, которое не выравнивается с осями координат.
rng default % Set the seed for reproducibility A = [normrnd(0,1,10,3) normrnd(0,0.1,10,1)]; B = randn(4,4); X = A*B;
Уменьшайте точки в X к расстояниям при помощи Евклидовой метрики. Найдите настройку Y с разделять знаками препинания расстояниями.
D = pdist(X,'euclidean');
Y = cmdscale(D);Сравните качество реконструкций при использовании 2, 3, или 4 размерности. Маленькое значение maxerr3 указывает, что первые 3 размерности обеспечивают хорошую реконструкцию.
maxerr2 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:2))))
maxerr2 = 0.1631
maxerr3 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y(:,1:3))))
maxerr3 = 0.0187
maxerr4 = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr4 = 7.9936e-15
Уменьшайте точки в X к расстояниям при помощи метрики 'cityblock'. Найдите настройку Y с разделять знаками препинания расстояниями.
D = pdist(X,'cityblock');
[Y,e] = cmdscale(D);Оцените качество реконструкции. e содержит по крайней мере один отрицательный элемент большого значения, которое может составлять низкое качество реконструкции.
maxerr = max(abs(pdist(X)-pdist(Y)))
maxerr = 9.0488
min(e)
ans = -5.6586
[1] Seber, G. A. F. Многомерные наблюдения. Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1984.
mdscale | pdist | procrustes