Cox пропорциональная модель опасностей

Введение

Cox пропорциональная регрессия опасностей является полупараметрическим методом для корректировки оценок выживаемости, чтобы определить количество эффекта переменных прогноза. Метод представляет эффекты объясняющих переменных как множитель общей базовой функции опасности, h ₀ (t). Функция опасности является непараметрической частью Cox пропорциональная функция регрессии опасностей, тогда как влияние переменных прогноза является логлинейной регрессией. Для базовой линии относительно 0, эта модель соответствует

$h (X_{i}, t) = h_{0} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}],$

где $X_{i} = (x_{i 1}, x_{i 2}, \dots, x_{i p})$ переменная прогноза для i th предмет, h (X _i, t) является показателем риска во время t для X _i, и h ₀ (t) является базовой функцией показателя риска.

Отношение опасности

Cox пропорциональная модель опасностей связывает показатель риска для людей или элементов в значении X _i к показателю риска для людей или элементов в базовом значении. Это производит оценку для отношения опасности:

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h_{0} (t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}] .$

Модель основана на предположении, что базовая функция опасности зависит вовремя, t, но переменные прогноза не делают. Это предположение также называется пропорциональным предположением опасностей, которое утверждает, что отношение опасности не изменяется в зависимости от времени ни для какого человека.

Отношение опасности представляет относительный риск мгновенного отказа для людей или элементов, имеющих прогнозирующее значение переменных X _i по сравнению с теми имеющими базовые значения. Например, если прогнозирующая переменная курит состояние, где для некурящих базовая категория, отношение опасности показывает относительную мгновенную интенсивность отказов курильщиков по сравнению с базовой категорией, то есть, некурящих. Для базовой линии относительно X^* и значение переменной прогноза X _i, отношение опасности

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h (X^{*}, t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} (x_{i j} - x_{j}^{*}) b_{j}] .$

Например, если базовая линия является средними значениями переменных прогноза (mean(X)), то отношение опасности становится

$H R (X_{i}) = \frac{h (X_{i}, t)}{h (\bar{X}, t)} = \exp [\sum_{j = 1}^{p} (x_{i j} - {\bar{x}}_{j}) b_{j}] .$

Показатели риска связаны с коэффициентами выживаемости, такими, что выживаемость во время t для человека со значением объясняющей переменной X _i

$S_{X_{i}} (t) = S_{0} {(t)}^{H R (X_{i})},$

где S ₀ (t) является функцией оставшегося в живых с базовой функцией показателя риска h ₀ (t), и HR (X _i) является отношением опасности значения переменной прогноза X _i относительно базового значения.

Расширение Cox пропорциональная модель опасностей

Когда у вас есть переменные, которые не удовлетворяют предположение пропорциональных опасностей (PH), можно рассмотреть использование двух расширений Cox пропорциональная модель опасностей: стратифицированная модель Cox и модель Cox с зависящими от времени переменными.

Если переменные, которые не удовлетворяют предположение PH, categorizable, используйте стратифицированную модель Cox:

$h_{s} (X_{i}, t) = h_{0 s} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p} x_{i j} b_{j}],$

где нижний s указывает на s th слой. Стратифицированная модель Cox имеет различную базовую функцию показателя риска для каждого слоя, но совместно использует коэффициенты. Поэтому это имеет то же отношение опасности через все слои, если значения переменной прогноза являются тем же самым. Можно включать переменные стратификации в coxphfit при помощи пары "имя-значение" 'Strata'.

Если переменные, которые не удовлетворяют предположение PH, являются зависящими от времени переменными, используйте модель Cox с зависящими от времени переменными:

$h (X_{i}, t) = h_{0} (t) \exp [\sum_{j = 1}^{p_{1}} x_{i j} b_{j} + \sum_{k = 1}^{p_{2}} x_{i k} (t) c_{k}],$

где x_{, ij} является элементом независимого от времени предиктора и x _ik (t), является элементом зависящего от времени предиктора. Для примера того, как включать зависящие от времени переменные в coxphfit, смотрите Cox Пропорциональная Модель Опасностей с Зависящими от времени Ковариантами.

Частичная функция правдоподобия

Точечная оценка эффекта каждой объясняющей переменной, то есть, предполагаемое отношение опасности для эффекта каждой объясняющей переменной является exp (b), учитывая все другие переменные считаются постоянными, где b является содействующей оценкой для той переменной. Содействующие оценки найдены путем максимизации частичной функции правдоподобия модели. Частичная функция правдоподобия для пропорциональной модели регрессии опасностей основана на наблюдаемом порядке событий. Это - продукт частичных вероятностей отказов, оцененных в течение каждого раза отказа. Если существуют отказы n в n отличные времена отказа, $t_{1} < t_{2} < \dots < t_{n}$ , затем частичная вероятность

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{\sum_{j = 2}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n})}{H R (X_{n})} = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R (X_{i})}{\sum_{j = i}^{n} H R (X_{j})} .$

Можно переписать частичную вероятность при помощи набора риска R _i:

$L = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R (X_{i})}{\sum_{j \in R_{i}} H R (X_{j})},$

где R_{, i} представляет индексный набор предметов, кто является объектом исследования, но не испытывает событие до i th время отказа.

Можно использовать тест отношения правдоподобия, чтобы оценить значение добавления термина или условий в модели. Рассмотрите две модели, где первая модель имеет p, прогнозирующие переменные и вторая модель имеют p + r прогнозирующие переменные. Затем сравнение этих двух моделей, –2* (L_1/L2) имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы r (количество протестированных условий).

Частичная функция правдоподобия для связанных Событий

Когда вы связали события, coxphfit аппроксимирует частичную вероятность модели или методом Бреслоу (значение по умолчанию) или методом Эфрона, вместо того, чтобы вычислить точную частичную вероятность. Вычисление точной частичной вероятности требует большого объема вычисления, которое включает целую перестановку наборов риска в течение связанных времен события.

Самый простой метод приближения является методом Бреслоу. Этот метод использует тот же знаменатель для каждого связанного набора.

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R (X_{j})}{\sum_{k \in R_{i}} H R (X_{k})},$

где d является номером отличных времен события и D_{, i} является индексным набором всех предметов, время события которых равно i th время события.

Метод Эфрона более точен, чем метод Бреслоу, все же прост. Этот метод настраивает знаменатель связанных событий можно следующим образом:

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R (X_{j})}{\sum_{k \in R_{i}} H R (X_{k}) - \frac{j - 1}{d_{i}} \sum_{k \in D_{i}} H R (X_{k})},$

где d _i является количеством индексов в D _i.

Для примера примите, что первые два события связываются, то есть, t ₁ = t ₂ и $t_{2} < t_{3} < \dots < t_{n}$ . В методе Бреслоу знаменатели первых двух сроков являются тем же самым:

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{3})}{\sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{4})}{\sum_{j = 4}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n})}{H R (X_{n})} .$

Метод Эфрона настраивает знаменатель второго срока:

$L = \frac{H R (X_{1})}{\sum_{j = 1}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{2})}{0.5 H R (X_{1}) + 0.5 H R (X_{2}) + \sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{3})}{\sum_{j = 3}^{n} H R (X_{j})} \times \frac{H R (X_{4})}{\sum_{j = 4}^{n} H R (X_{j})} \times \cdot \cdot \cdot \times \frac{H R (X_{n}, t_{n})}{H R (X_{n}, t_{n})} .$

Можно задать метод приближения при помощи пары "имя-значение" 'Ties' в coxphfit.

Частота или веса наблюдений

Cox пропорциональная модель опасностей может соединиться с частотой или весами наблюдений. Позвольте w _i быть весом i th наблюдение. Затем частичные вероятности модели Cox с весами становятся можно следующим образом:

Частичная вероятность с весами

$L = \prod_{i = 1}^{n} \frac{H R_{w} (X_{i})}{\sum_{j \in R_{i}} w_{j} H R (X_{j})},$
где

$H R_{w} (X_{i}) = \exp [\sum_{j = 1}^{p} w_{j} x_{i j} b_{j}] .$
Частичная вероятность с весами и методом Бреслоу

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R_{w} (X_{j})}{{[\sum_{k \in R_{i}} w_{k} H R (X_{k})]}^{\frac{1}{d_{i}} \sum_{j \in D_{i}} w_{j}}}$
Частичная вероятность с весами и методом Эфрона

$L = \prod_{i = 1}^{d} \prod_{j \in D_{i}} \frac{H R_{w} (X_{j})}{{[\sum_{k \in R_{i}} w_{k} H R (X_{k}) - \frac{j - 1}{d_{i}} \sum_{k \in D_{i}} w_{k} H R (X_{k})]}^{\frac{1}{d_{i}} \sum_{j \in D_{i}} w_{j}}}$

Можно задать частоту или веса наблюдений при помощи пары "имя-значение" 'Frequency' в coxphfit.

Ссылки

[1] Cox, D. R. и Д. Оукс. Анализ данных о выживании. Лондон: Chapman & Hall, 1984.

[2] Беззаконный, J. F. Статистические модели и методы для пожизненных данных. Хобокен, NJ: Wiley-межнаука, 2002.

[3] Kleinbaum, D. G. и М. Клейн. Анализ выживания. Статистика для Биологии и здоровья. 2-й выпуск. Спрингер, 2005.

[4] Клейн, J. P. и М. Л. Мешбергер. Анализ выживания. Статистика для Биологии и здоровья. 2-й выпуск. Спрингер, 2003.

Смотрите также

coxphfit | ecdf | ksdensity

Документация